विषय पर पाठ: "समान और विभिन्न घातांक के साथ घातों के गुणन और विभाजन के नियम। उदाहरण"

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पाठ का उद्देश्य: संख्याओं की शक्तियों के साथ संचालन करना सीखें।

सबसे पहले, आइए "संख्या की शक्ति" की अवधारणा को याद रखें। $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ फॉर्म की अभिव्यक्ति को $a^n$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इसका विपरीत भी सत्य है: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

इस समानता को "डिग्री को उत्पाद के रूप में दर्ज करना" कहा जाता है। यह हमें यह निर्धारित करने में मदद करेगा कि शक्तियों को कैसे गुणा और विभाजित किया जाए।
याद करना:
ए- डिग्री का आधार.
एन– प्रतिपादक.
अगर एन=1, जिसका अर्थ है संख्या एएक बार लिया और तदनुसार: $a^n= 1$।
अगर एन= 0, फिर $a^0= 1$.

जब हम घातों के गुणन और विभाजन के नियमों से परिचित हो जाते हैं तो हम यह पता लगा सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है।

गुणन नियम

a) यदि समान आधार वाली शक्तियों को गुणा किया जाता है।
$a^n * a^m$ प्राप्त करने के लिए, हम डिग्री को एक उत्पाद के रूप में लिखते हैं: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(एम )$.
यह आंकड़ा दर्शाता है कि संख्या एलिया एन+एमसमय, फिर $a^n * a^m = a^(n + m)$।

उदाहरण।
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

किसी संख्या को उच्च घात तक बढ़ाते समय कार्य को सरल बनाने के लिए इस गुण का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।
उदाहरण।
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

बी) यदि अलग-अलग आधारों वाली डिग्री, लेकिन समान घातांक को गुणा किया जाता है।
$a^n * b^n$ प्राप्त करने के लिए, हम डिग्री को एक उत्पाद के रूप में लिखते हैं: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(एम )$.
यदि हम कारकों की अदला-बदली करते हैं और परिणामी जोड़ियों की गिनती करते हैं, तो हमें मिलता है: $\अंडरब्रेस( (ए * बी) * (ए * बी) * \ldots * (ए * बी) )_(एन)$।

तो $a^n * b^n= (a * b)^n$।

उदाहरण।
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

प्रभाग नियम

a) डिग्री का आधार एक ही है, संकेतक अलग-अलग हैं।
एक घात को छोटे घातांक से विभाजित करके एक घात को बड़े घातांक से विभाजित करने पर विचार करें।

तो, हमें चाहिए $\frac(a^n)(a^m)$, कहाँ n>एम.

आइए अंशों को भिन्न के रूप में लिखें:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

सुविधा के लिए, हम विभाजन को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखते हैं।

अब भिन्न को कम करते हैं।

यह पता चला: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
मतलब, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

यह संपत्ति किसी संख्या को शून्य घात तक बढ़ाने की स्थिति को समझाने में मदद करेगी। चलिए मान लेते हैं एन=एम, तो $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

उदाहरण.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

बी) डिग्री के आधार अलग-अलग हैं, संकेतक समान हैं।
मान लीजिए $\frac(a^n)( b^n)$ आवश्यक है। आइए संख्याओं की घातों को भिन्नों के रूप में लिखें:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

सुविधा के लिए, आइए कल्पना करें।

भिन्नों के गुण का उपयोग करके, हम बड़े भिन्न को छोटे भिन्न के गुणनफल में विभाजित करते हैं, हमें प्राप्त होता है।
$\अंडरब्रेस( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
तदनुसार: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

उदाहरण।
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

आइए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को बदलने के विषय पर विचार करें, लेकिन पहले आइए ऐसे कई परिवर्तनों पर ध्यान दें, जिन्हें शक्ति सहित किसी भी अभिव्यक्ति के साथ किया जा सकता है। हम सीखेंगे कि कोष्ठक कैसे खोलें, समान पद कैसे जोड़ें, आधारों और घातांकों के साथ काम करें और घातों के गुणों का उपयोग करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

शक्ति अभिव्यक्ति क्या हैं?

में स्कूल पाठ्यक्रमकुछ लोग "शक्तिशाली अभिव्यक्ति" वाक्यांश का उपयोग करते हैं, लेकिन यह शब्द एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए संग्रहों में लगातार पाया जाता है। ज्यादातर मामलों में, एक वाक्यांश उन अभिव्यक्तियों को दर्शाता है जिनकी प्रविष्टियों में डिग्री होती है। यही हम अपनी परिभाषा में प्रतिबिंबित करेंगे।

परिभाषा 1

शक्ति अभिव्यक्तिएक अभिव्यक्ति है जिसमें डिग्री शामिल है।

आइए हम शक्ति अभिव्यक्तियों के कई उदाहरण दें, जो एक प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ एक शक्ति से शुरू होते हैं और एक वास्तविक प्रतिपादक के साथ एक शक्ति के साथ समाप्त होते हैं।

सबसे सरल घात अभिव्यक्तियों को एक प्राकृतिक घातांक वाली संख्या की घातें माना जा सकता है: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + ए 2, एक्स 3 - 1, (ए 2) 3। और शून्य घातांक वाली घातें भी: 5 0, (ए + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0। और ऋणात्मक पूर्णांक घातों वाली घातें: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

ऐसी डिग्री के साथ काम करना थोड़ा अधिक कठिन है जिसमें तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक हों: 264 1 4 - 3 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 ए 1 4 ए 1 2 - 2 ए - 1 6 · बी 1 2 , एक्स π · एक्स 1 - π , 2 3 3 + 5 .

सूचक चर 3 x - 54 - 7 3 x - 58 या लघुगणक हो सकता है x 2 · l g x - 5 · x l g x.

हमने इस प्रश्न पर विचार किया है कि शक्ति अभिव्यक्तियाँ क्या हैं। अब आइए उन्हें परिवर्तित करना शुरू करें।

शक्ति अभिव्यक्ति के बुनियादी प्रकार के परिवर्तन

सबसे पहले, हम अभिव्यक्तियों के बुनियादी पहचान परिवर्तनों को देखेंगे जिन्हें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किया जा सकता है।

उदाहरण 1

किसी शक्ति अभिव्यक्ति के मान की गणना करें 2 3 (4 2 − 12).

समाधान

हम कार्यों के क्रम के अनुपालन में सभी परिवर्तन करेंगे। इस मामले में, हम कोष्ठक में क्रियाएं निष्पादित करके शुरू करेंगे: हम डिग्री को डिजिटल मान से बदल देंगे और दो संख्याओं के अंतर की गणना करेंगे। हमारे पास है 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

हमें बस डिग्री बदलनी है 2 3 इसका अर्थ 8 और उत्पाद की गणना करें 8 4 = 32. यहाँ हमारा उत्तर है.

उत्तर: 2 3 · (4 2 − 12) = 32।

उदाहरण 2

घातों की सहायता से अभिव्यक्ति को सरल बनायें 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7.

समाधान

समस्या कथन में हमें दी गई अभिव्यक्ति में समान शब्द शामिल हैं जिन्हें हम दे सकते हैं: 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7 = 5 ए 4 बी - 7 - 1.

उत्तर: 3 · ए 4 · बी - 7 - 1 + 2 · ए 4 · बी - 7 = 5 · ए 4 · बी - 7 - 1।

उदाहरण 3

घात 9 - b 3 · π - 1 2 वाले व्यंजक को गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

समाधान

आइए संख्या 9 की एक शक्ति के रूप में कल्पना करें 3 2 और संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें:

9 - बी 3 π - 1 2 = 3 2 - बी 3 π - 1 2 = = 3 - बी 3 π - 1 3 + बी 3 π - 1

उत्तर: 9 - बी 3 · π - 1 2 = 3 - बी 3 · π - 1 3 + बी 3 · π - 1।

अब आइए पहचान परिवर्तनों के विश्लेषण पर आगे बढ़ें जिन्हें विशेष रूप से शक्ति अभिव्यक्तियों पर लागू किया जा सकता है।

आधार और प्रतिपादक के साथ कार्य करना

आधार या घातांक में डिग्री में संख्याएँ, चर और कुछ अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7और . ऐसे रिकॉर्ड के साथ काम करना कठिन है. डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति या घातांक में अभिव्यक्ति को समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना बहुत आसान है।

डिग्री और घातांक का परिवर्तन एक दूसरे से अलग से ज्ञात नियमों के अनुसार किया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि परिवर्तन का परिणाम मूल अभिव्यक्ति के समान होता है।

परिवर्तनों का उद्देश्य मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाना या समस्या का समाधान प्राप्त करना है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण में, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 आप डिग्री तक जाने के लिए चरणों का पालन कर सकते हैं 4 , 1 1 , 3 . कोष्ठक खोलकर, हम घात के आधार के समान पद प्रस्तुत कर सकते हैं (ए · (ए + 1) - ए 2) 2 · (एक्स + 1)और एक सरल रूप की शक्ति अभिव्यक्ति प्राप्त करें ए 2 (एक्स + 1).

डिग्री गुणों का उपयोग करना

शक्तियों के गुण, समानता के रूप में लिखे गए, शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के मुख्य उपकरणों में से एक हैं। इसे ध्यान में रखते हुए हम यहां मुख्य बातें प्रस्तुत कर रहे हैं एऔर बीक्या कोई सकारात्मक संख्या है, और आरऔर एस- मनमानी वास्तविक संख्याएँ:

परिभाषा 2

• ए आर · ए एस = ए आर + एस ;
• ए आर: ए एस = ए आर − एस ;
• (ए · बी) आर = ए आर · बी आर ;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर ;
• (ए आर) एस = ए आर · एस।

ऐसे मामलों में जहां हम प्राकृतिक, पूर्णांक, सकारात्मक घातांक के साथ काम कर रहे हैं, संख्या ए और बी पर प्रतिबंध बहुत कम सख्त हो सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम समानता पर विचार करें ए एम · ए एन = ए एम + एन, कहाँ एमऔर एनप्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों के साथ-साथ किसी भी मान के लिए सत्य होगी ए = 0.

आप उन मामलों में शक्तियों के गुणों को बिना किसी प्रतिबंध के लागू कर सकते हैं जहां शक्तियों का आधार सकारात्मक है या उनमें चर, क्षेत्र शामिल हैं स्वीकार्य मूल्यजो ऐसा है कि उसके आधार पर ही स्वीकार किया जाता है सकारात्मक मूल्य. वास्तव में, भीतर स्कूल के पाठ्यक्रमगणित में विद्यार्थी का कार्य एक उपयुक्त गुण का चयन करना और उसे सही ढंग से लागू करना है।

विश्वविद्यालयों में प्रवेश की तैयारी करते समय, आपको ऐसी समस्याओं का सामना करना पड़ सकता है जिनमें संपत्तियों के गलत उपयोग से डीएल में कमी आएगी और हल करने में अन्य कठिनाइयाँ होंगी। इस अनुभाग में हम ऐसे केवल दो मामलों की जांच करेंगे। अधिक जानकारीप्रश्न पर "शक्तियों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना" विषय में पाया जा सकता है।

उदाहरण 4

अभिव्यक्ति की कल्पना कीजिए ए 2 , 5 (ए 2) - 3: ए - 5 , 5आधार युक्त शक्ति के रूप में ए.

समाधान

सबसे पहले, हम घातांक की संपत्ति का उपयोग करते हैं और इसका उपयोग करके दूसरे कारक को बदलते हैं (ए 2) - 3. फिर हम समान आधार पर घातों के गुणन और विभाजन के गुणों का उपयोग करते हैं:

ए 2 , 5 · ए - 6: ए - 5 , 5 = ए 2 , 5 - 6: ए - 5 , 5 = ए - 3 , 5: ए - 5 , 5 = ए - 3 , 5 - (- 5 , 5) = ए 2 .

उत्तर:ए 2, 5 · (ए 2) - 3: ए - 5, 5 = ए 2।

शक्तियों के गुण के अनुसार शक्ति अभिव्यक्तियों का परिवर्तन बाएँ से दाएँ और विपरीत दिशा दोनों में किया जा सकता है।

उदाहरण 5

घात अभिव्यक्ति 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 का मान ज्ञात कीजिये।

समाधान

अगर हम समानता लागू करें (ए · बी) आर = ए आर · बी आर, दाएँ से बाएँ, हमें 3 · 7 1 3 · 21 2 3 और फिर 21 1 3 · 21 2 3 के रूप का गुणनफल मिलता है। आइए समान आधारों से घातों को गुणा करते समय घातांक जोड़ें: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21।

परिवर्तन करने का एक और तरीका है:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

उत्तर: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

उदाहरण 6

एक शक्ति अभिव्यक्ति दी गई है ए 1, 5 − ए 0, 5 − 6, एक नया वेरिएबल दर्ज करें टी = ए 0.5.

समाधान

आइये डिग्री की कल्पना करें ए 1, 5कैसे एक 0.5 3. डिग्री से डिग्री तक की संपत्ति का उपयोग करना (ए आर) एस = ए आर · एसदाएँ से बाएँ और हमें (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6 मिलता है। आप परिणामी अभिव्यक्ति में आसानी से एक नया वेरिएबल पेश कर सकते हैं टी = ए 0.5: हम पाते हैं टी 3 − टी − 6.

उत्तर:टी 3 − टी − 6 .

घात वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

आमतौर पर हम भिन्नों के साथ घात अभिव्यक्ति के दो संस्करणों से निपटते हैं: अभिव्यक्ति एक घात वाले भिन्न का प्रतिनिधित्व करती है या इसमें ऐसा कोई भिन्न होता है। भिन्नों के सभी बुनियादी परिवर्तन बिना किसी प्रतिबंध के ऐसे भावों पर लागू होते हैं। उन्हें कम किया जा सकता है, एक नए हर में लाया जा सकता है, या अंश और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है। आइए इसे उदाहरणों से स्पष्ट करें।

उदाहरण 7

घात अभिव्यक्ति 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 को सरल बनायें।

समाधान

हम भिन्न के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए हम अंश और हर दोनों में परिवर्तन करेंगे:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

हर का चिह्न बदलने के लिए भिन्न के सामने ऋण चिह्न लगाएं: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

उत्तर: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

घात वाले भिन्नों को तर्कसंगत भिन्नों की तरह ही एक नए हर में घटा दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढना होगा और भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा करना होगा। एक अतिरिक्त कारक का चयन इस प्रकार करना आवश्यक है कि यह मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए शून्य पर न जाए।

उदाहरण 8

भिन्नों को एक नए हर में घटाएँ: a) a + 1 a 0, 7 हर तक ए, बी) 1 एक्स 2 3 - 2 · एक्स 1 3 · वाई 1 6 + 4 · वाई 1 3 हर x + 8 · वाई 1 2 तक।

समाधान

ए) आइए एक ऐसे कारक का चयन करें जो हमें एक नए हर को कम करने की अनुमति देगा। ए 0, 7 ए 0, 3 = ए 0, 7 + 0, 3 = ए,इसलिए, हम इसे एक अतिरिक्त कारक के रूप में लेंगे ए 0 , 3. चर a के अनुमेय मानों की श्रेणी में सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट शामिल है। इस क्षेत्र में डिग्री ए 0 , 3शून्य पर नहीं जाता.

आइए भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा करें ए 0 , 3:

ए + 1 ए 0, 7 = ए + 1 ए 0, 3 ए 0, 7 ए 0, 3 = ए + 1 ए 0, 3 ए

बी) आइए हर पर ध्यान दें:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

आइए इस अभिव्यक्ति को x 1 3 + 2 · y 1 6 से गुणा करें, हमें घन x 1 3 और 2 · y 1 6 का योग मिलता है, अर्थात। एक्स + 8 · वाई 1 2 . यह हमारा नया हर है जिससे हमें मूल भिन्न को कम करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार हमने अतिरिक्त गुणनखंड x 1 3 + 2 · y 1 6 पाया। चरों के अनुमेय मानों की सीमा पर एक्सऔर यअभिव्यक्ति x 1 3 + 2 · y 1 6 लुप्त नहीं होती है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 वर्ष 1 6 + 4 वर्ष 1 3 = = x 1 3 + 2 वर्ष 1 6 x 1 3 + 2 वर्ष 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 वर्ष 1 6 + 4 वर्ष 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

उत्तर:ए) ए + 1 ए 0, 7 = ए + 1 ए 0, 3 ए, बी) 1 एक्स 2 3 - 2 एक्स 1 3 वाई 1 6 + 4 वाई 1 3 = एक्स 1 3 + 2 वाई 1 6 एक्स + 8 · य 1 2 .

उदाहरण 9

भिन्न को कम करें: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2।

समाधान

ए) हम सबसे बड़े सामान्य विभाजक (जीसीडी) का उपयोग करते हैं, जिसके द्वारा हम अंश और हर को कम कर सकते हैं। संख्या 30 और 45 के लिए यह 15 है। हम इसमें कटौती भी कर सकते हैं x0.5+1और x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 पर।

हम पाते हैं:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

बी) यहां समान कारकों की उपस्थिति स्पष्ट नहीं है। अंश और हर में समान गुणनखंड प्राप्त करने के लिए आपको कुछ परिवर्तन करने होंगे। ऐसा करने के लिए, हम वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर का विस्तार करते हैं:

ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2 = ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 4 2 - बी 1 2 2 = = ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 4 + बी 1 4 ए 1 4 - बी 1 4 = 1 ए 1 4 + बी 1 4

उत्तर:ए) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , बी) ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2 = 1 ए 1 4 + बी 1 4।

भिन्नों के साथ बुनियादी संचालन में भिन्नों को एक नए हर में परिवर्तित करना और भिन्नों को कम करना शामिल है। दोनों क्रियाएं कई नियमों के अनुपालन में की जाती हैं। भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय, पहले भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, जिसके बाद अंशों के साथ संक्रियाएँ (जोड़ या घटाव) की जाती हैं। हर वही रहता है. हमारे कार्यों का परिणाम एक नया अंश है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हरों का गुणनफल है।

उदाहरण 10

चरण x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 करें।

समाधान

आइए कोष्ठक में मौजूद भिन्नों को घटाकर प्रारंभ करें। आइए उन्हें एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

एक्स 1 2 - 1 एक्स 1 2 + 1

आइए अंशों को घटाएँ:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 एक्स 1 2 + 1 1 एक्स 1 2

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

आइए एक शक्ति कम करें x 1 2, हमें 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 मिलता है।

इसके अतिरिक्त, आप वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर में घात अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं: वर्ग: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1।

उत्तर: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

उदाहरण 11

पावर-लॉ अभिव्यक्ति x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 को सरल बनाएं।
समाधान

हम भिन्न को कम कर सकते हैं (x 2 , 7 + 1) 2. हमें भिन्न x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 प्राप्त होता है।

आइए x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 की घातों को परिवर्तित करना जारी रखें। अब आप समान आधारों से घातों को विभाजित करने के गुण का उपयोग कर सकते हैं: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

हम वहां से आगे बढ़ते हैं अंतिम कार्यभिन्न x 1 3 8 x 2, 7 + 1 तक।

उत्तर: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

ज्यादातर मामलों में, नकारात्मक घातांक वाले कारकों को अंश से हर और पीछे स्थानांतरित करना, घातांक के चिह्न को बदलना अधिक सुविधाजनक होता है। यह क्रिया आपको आगे के निर्णय को सरल बनाने की अनुमति देती है। आइए एक उदाहरण दें: घात अभिव्यक्ति (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 को x 3 · (x + 1) 0, 2 से बदला जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों से रूपांतरित करना

समस्याओं में शक्ति अभिव्यक्तियाँ होती हैं जिनमें न केवल भिन्नात्मक घातांक वाली शक्तियाँ होती हैं, बल्कि जड़ें भी होती हैं। ऐसी अभिव्यक्तियों को केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक सीमित करना उचित है। डिग्री के लिए जाना बेहतर है क्योंकि उनके साथ काम करना आसान होता है। यह संक्रमण विशेष रूप से तब बेहतर होता है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर का ODZ आपको मापांक तक पहुंचने या ODZ को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है।

उदाहरण 12

अभिव्यक्ति x 1 9 · x · x 3 6 को घात के रूप में व्यक्त करें।

समाधान

अनुमेय परिवर्तनीय मानों की सीमा एक्सदो असमानताओं द्वारा परिभाषित किया गया है एक्स ≥ 0और x x 3 ≥ 0, जो समुच्चय को परिभाषित करता है [ 0 , + ∞) .

इस सेट पर हमें जड़ों से शक्तियों की ओर बढ़ने का अधिकार है:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

शक्तियों के गुणों का उपयोग करके, हम परिणामी शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं।

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

उत्तर: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

घातांक में चरों के साथ घातों को परिवर्तित करना

यदि आप डिग्री के गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं तो ये परिवर्तन करना काफी आसान है। उदाहरण के लिए, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

हम उन घातों के गुणनफल से प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिनके घातांक कुछ चर और एक संख्या का योग होते हैं। बाईं ओर, यह अभिव्यक्ति के बाईं ओर के पहले और अंतिम शब्दों के साथ किया जा सकता है:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0।

आइए अब समानता के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें 7 2 एक्स. चर x के लिए यह अभिव्यक्ति केवल सकारात्मक मान लेती है:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

आइए भिन्नों को घातों से कम करें, हमें मिलता है: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

अंत में, समान घातांक वाले घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 होता है, जो 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x के बराबर है - 2 = 0 .

आइए हम एक नया चर t = 5 7 x प्रस्तुत करें, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 के समाधान तक कम कर देता है।

घातों और लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

समस्याओं में घात और लघुगणक वाले व्यंजक भी पाए जाते हैं। ऐसे भावों का एक उदाहरण है: 1 4 1 - 5 · लॉग 2 3 या लॉग 3 27 9 + 5 (1 - लॉग 3 5) · लॉग 5 3। ऐसी अभिव्यक्तियों का परिवर्तन ऊपर चर्चा किए गए लघुगणक के दृष्टिकोण और गुणों का उपयोग करके किया जाता है, जिस पर हमने "लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन" विषय में विस्तार से चर्चा की है।

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यह स्पष्ट है कि घात वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें उनके संकेतों के साथ एक के बाद एक जोड़कर.

तो, a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चरों की समान शक्तियाँजोड़ा या घटाया जा सकता है.

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 के बराबर है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि आप दो वर्ग ए, या तीन वर्ग ए, या पांच वर्ग ए लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों के साथ जोड़कर बनाया जाना चाहिए।

तो, a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, a के वर्ग के दोगुने के बराबर नहीं है, बल्कि a के घन के दोगुने के बराबर है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही क्रियान्वित किया जाता है, सिवाय इसके कि उपप्रकारों के चिह्नों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2ए 4 - (-6ए 4) = 8ए 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ए - एच) 6 - 2(ए - एच) 6 = 3(ए - एच) 6

शक्तियाँ बढ़ाना

घात वाली संख्याओं को, अन्य मात्राओं की तरह, एक के बाद एक लिखकर, उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना, गुणा किया जा सकता है।

इस प्रकार, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम को समान चर जोड़कर क्रमबद्ध किया जा सकता है।
अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी: a 5 b 5 y 3.

कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाए, तो परिणाम के बराबर घात वाली एक संख्या (चर) प्राप्त होती है मात्राशर्तों की डिग्री.

तो, ए 2 .ए 3 = ए.ए.ए.ए = एएए = ए 5।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n।

n के लिए, a को n की घात से कई गुना अधिक गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और जितनी बार डिग्री m बराबर होती है उतनी बार a m को गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

इसीलिए, समान आधार वाली घातों को घातों के घातांकों को जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8। और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) को गुणा करें।
उत्तर: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) को गुणा करें।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 . इसे (1/aa).(1/aaa) = 1/aaa के रूप में लिखा जा सकता है।

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाए तो परिणाम a 2 - b 2 होगा: अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम योग के बराबरया उनके वर्गों का अंतर.

यदि आप दो संख्याओं के योग और अंतर को गुणा करते हैं वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री.

तो, (ए - वाई).(ए + वाई) = ए 2 - वाई 2.
(ए 2 - वाई 2)⋅(ए 2 + वाई 2) = ए 4 - वाई 4।
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

डिग्रियों का विभाजन

घातांक वाली संख्याओं को अन्य संख्याओं की तरह, लाभांश से घटाकर या भिन्न रूप में रखकर विभाजित किया जा सकता है।

इस प्रकार, a 3 b 2 को b 2 से विभाजित करने पर a 3 के बराबर होता है।

या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 को 3 से विभाजित करके लिखना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
ए +4, ए +3, ए +2, ए +1, ए 0, ए -1, ए -2, ए -3, ए -4।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के सूचक.

समान आधार से अंशों को विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. अर्थात, $\frac(yyy)(yy) = y$.

और a n+1:a = a n+1-1 = a n। अर्थात्, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

या:
y 2m: y m = y m
8ए एन+एम: 4ए एम = 2ए एन
12(बी + वाई) एन: 3(बी + वाई) 3 = 4(बी + वाई) एन-3

यह नियम संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मकडिग्रियों का मान.
-5 को -3 से विभाजित करने पर परिणाम -2 आता है।
इसके अलावा, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aAA).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aAAa) = \frac (1)(एए)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 या $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

घातों के गुणन और विभाजन में अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि बीजगणित में ऐसे संक्रियाओं का बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

घातों वाली संख्याओं वाले भिन्नों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ से कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$.

2. घातांक को $\frac(6x^6)(3x^5)$ से कम करें। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x.

3. घातांक a 2 /a 3 और a -3 /a -4 को कम करें और एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
a 2 .a -4, a -2 पहला अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 .

4. घातांक 2a 4 /5a 3 और 2 /a 4 को कम करें और एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2ए 3 /5ए 7 और 5ए 5 /5ए 7 या 2ए 3 /5ए 2 और 5/5ए 2।

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. a 4 /y 3 को a 3 /y 2 से विभाजित करें। उत्तर: ए/वाई.

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से विभाजित करें।

भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्तियाँ (शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियाँ) एवं उनका परिवर्तन

इस लेख में हम अभिव्यक्ति को शक्तियों से परिवर्तित करने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार की अभिव्यक्ति के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्ति भी शामिल है, जैसे कोष्ठक खोलना और समान शब्द लाना। और फिर हम विशेष रूप से डिग्री के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना आदि।

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शक्ति अभिव्यक्ति क्या हैं?

शब्द "पावर एक्सप्रेशन" व्यावहारिक रूप से स्कूली गणित की पाठ्यपुस्तकों में दिखाई नहीं देता है, लेकिन यह अक्सर समस्याओं के संग्रह में दिखाई देता है, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा और उदाहरण के लिए यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी के लिए। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ कोई कार्य करना आवश्यक है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में शक्तियों से युक्त अभिव्यक्तियों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, आप अपने लिए निम्नलिखित परिभाषा स्वीकार कर सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तियाँडिग्री युक्त अभिव्यक्तियाँ हैं।

आइए देते हैं शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उन्हें इस अनुसार प्रस्तुत करेंगे कि प्राकृतिक प्रतिपादक वाली डिग्री से वास्तविक प्रतिपादक वाली डिग्री तक विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि ज्ञात है, सबसे पहले व्यक्ति एक प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की घात से परिचित होता है, प्रकार 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) की पहली सरल घात अभिव्यक्तियाँ। 4, 3 a 2 प्रकट होते हैं −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि।

थोड़ी देर बाद, पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जिससे नकारात्मक पूर्णांक घात वाली घात अभिव्यक्तियाँ सामने आती हैं, जैसे कि निम्नलिखित: 3 −2, , ए −2 +2 बी −3 +सी 2 .

हाई स्कूल में वे डिग्री की ओर लौटते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति पर जोर देती है: , , वगैरह। अंत में, अपरिमेय घातांक वाली डिग्रियों और उनसे युक्त अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक ही सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न होती हैं: 2 x 2 +1 या . और परिचित होने के बाद, घात और लघुगणक वाले भाव प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2·lgx −5·x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न पर विचार किया है कि अभिव्यक्तियाँ किस शक्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं। आगे हम इन्हें परिवर्तित करना सीखेंगे।

शक्ति अभिव्यक्ति के बुनियादी प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी बुनियादी पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, प्रतिस्थापित कर सकते हैं संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँउनके मान, समान पद आदि दीजिए। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में, कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

समाधान।

क्रियाओं के निष्पादन के क्रम के अनुसार सबसे पहले कोष्ठक में क्रियाएँ करें। वहां, सबसे पहले, हम घात 4 2 को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर 16−12=4 की गणना करते हैं। हमारे पास है 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

परिणामी अभिव्यक्ति में, हम घात 2 3 को उसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम उत्पाद 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मान है.

इसलिए, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

उत्तर:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

उदाहरण।

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 3 ए 4 बी −7 −1+2 ए 4 बी −7.

समाधान।

जाहिर है, इस अभिव्यक्ति में समान पद 3·a 4 ·b −7 और 2·a 4 ·b −7 शामिल हैं, और हम उन्हें प्रस्तुत कर सकते हैं:।

उत्तर:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

किसी अभिव्यक्ति को उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ व्यक्त करें।

समाधान।

आप संख्या 9 को 3 2 की घात के रूप में निरूपित करके और फिर संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके कार्य का सामना कर सकते हैं - वर्गों का अंतर:

उत्तर:

विशेष रूप से शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। हम उनका आगे विश्लेषण करेंगे.

आधार और प्रतिपादक के साथ कार्य करना

ऐसी शक्तियाँ हैं जिनका आधार और/या प्रतिपादक केवल संख्याएँ या चर नहीं हैं, बल्कि कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के तौर पर, हम प्रविष्टियाँ (2+0.3·7) 5−3.7 और (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) देते हैं।

ऐसी अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय, आप डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और घातांक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के ओडीजेड में समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदल सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और घातांक को अलग से बदल सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप एक अभिव्यक्ति प्राप्त होगी जो मूल के समान ही होगी।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या हमारे लिए आवश्यक अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लिखित घात अभिव्यक्ति (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संचालन कर सकते हैं, जो आपको घात 4.1 1.3 पर जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठक खोलने और समान पदों को घात (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) के आधार पर लाने के बाद, हमें एक सरल रूप a 2·(x+) की शक्ति अभिव्यक्ति प्राप्त होती है 1) .

डिग्री गुणों का उपयोग करना

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानता है जो प्रतिबिंबित करती है। आइए हम मुख्य बातों को याद करें। किसी के लिए सकारात्मक संख्याए और बी और मनमानी वास्तविक संख्याएं आर और एस, शक्तियों के निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

• ए आर·ए एस =ए आर+एस ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए·बी) आर =ए आर ·बी आर ;
• (ए:बी) आर =ए आर:बी आर ;
• (ए आर) एस =ए आर·एस .

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या ए और बी पर प्रतिबंध इतना सख्त नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, के लिए प्राकृतिक संख्या m और n समानता a m·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए सत्य है, बल्कि ऋणात्मक a और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, मुख्य ध्यान उपयुक्त संपत्ति को चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर होता है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो डिग्री के गुणों को बिना किसी प्रतिबंध के उपयोग करने की अनुमति देता है। यही बात शक्तियों के आधारों में चर युक्त अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर भी लागू होती है - चर के अनुमेय मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार उस पर केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको शक्तियों के गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है . सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी संपत्ति का उपयोग करना संभव है, क्योंकि संपत्तियों के गलत उपयोग से शैक्षिक मूल्य में कमी और अन्य परेशानियां हो सकती हैं। शक्तियों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों का परिवर्तन लेख में इन बिंदुओं पर विस्तार से और उदाहरणों के साथ चर्चा की गई है। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करने तक ही सीमित रखेंगे।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ एक घात के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति का उपयोग करके दूसरे कारक (ए 2) -3 को बदलते हैं: (ए 2) −3 =ए 2·(−3) =ए −6. मूल शक्ति अभिव्यक्ति 2.5·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह घातों के गुणन और विभाजन के गुणों का उसी आधार पर उपयोग करने के लिए बना हुआ है, जो हमारे पास है
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
ए 2.5−6:ए −5.5 =ए −3.5:ए −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

उत्तर:

ए 2.5 ·(ए 2) −3:ए −5.5 =ए 2.

शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय शक्तियों के गुणों का उपयोग बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में किया जाता है।

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

दाएं से बाएं ओर लागू समानता (ए·बी) आर =एआर ·बी आर, हमें मूल अभिव्यक्ति से फॉर्म के उत्पाद तक और आगे बढ़ने की अनुमति देती है। और जब घातों को समान आधारों से गुणा किया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति को दूसरे तरीके से बदलना संभव था:

उत्तर:

.

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति a 1.5 −a 0.5 −6 को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 प्रस्तुत करें।

समाधान।

शक्ति a 1.5 को 0.5·3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और फिर, शक्ति (ar) s = a r·s की डिग्री की संपत्ति के आधार पर, दाएं से बाएं ओर लागू किया जाता है, इसे रूप में बदल दिया जाता है (a 0.5) 3 . इस प्रकार, ए 1.5 −ए 0.5 −6=(ए 0.5) 3 −ए 0.5 −6. अब एक नया वेरिएबल t=a 0.5 प्रस्तुत करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

उत्तर:

t 3 −t−6 .

घात वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

घात अभिव्यक्तियों में घात वाले भिन्न शामिल हो सकते हैं या उनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। भिन्नों का कोई भी बुनियादी परिवर्तन जो किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित होता है, ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, जिन भिन्नों में घात हैं उन्हें कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। इन शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है. आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में हम कोष्ठक खोलते हैं और घातों के गुणों का उपयोग करके परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं, और हर में हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

और आइए भिन्न के सामने ऋण लगाकर हर का चिह्न भी बदलें: .

उत्तर:

.

एक नए हर में घात वाले भिन्नों को कम करना, एक नए हर में परिमेय भिन्नों को कम करने के समान ही किया जाता है। इस स्थिति में, एक अतिरिक्त गुणनखंड भी पाया जाता है और भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा किया जाता है। इस क्रिया को करते समय, यह याद रखने योग्य है कि एक नए हर में कमी से वीए में कमी हो सकती है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक शून्य पर न जाए।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में घटाएँ: a) हर को a, b) हर को.

समाधान।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि कौन सा अतिरिक्त गुणक वांछित परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। यह 0.3 का गुणक है, क्योंकि 0.7·ए 0.3 =ए 0.7+0.3 =ए. ध्यान दें कि चर के अनुमेय मानों की सीमा में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), 0.3 की शक्ति गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा अंश:

बी) हर पर करीब से नज़र डालने पर, आप उसे पा सकते हैं

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों और का योग प्राप्त होगा, अर्थात्। और यह नया हर है जिससे हमें मूल भिन्न को कम करने की आवश्यकता है।

इस तरह हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के अनुमेय मानों की सीमा में, अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

उत्तर:

ए) , बी) .

घात वाले भिन्नों को कम करने में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को कई कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारकों को कम किया जाता है।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी) ।

समाधान।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो 15 के बराबर है। स्पष्ट रूप से x 0.5 +1 और द्वारा कमी करना भी संभव है . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर का गुणनखंड करने में शामिल होते हैं:

उत्तर:

ए)

बी) .

भिन्नों को नए हर में बदलना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों के साथ काम करने के लिए उपयोग किया जाता है। के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं ज्ञात नियम. भिन्नों को जोड़ने (घटाने) पर, उन्हें एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, जिसके बाद अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है, लेकिन हर वही रहता है। परिणाम एक भिन्न है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हरों का गुणनफल है। किसी भिन्न से भाग करना उसके व्युत्क्रम से गुणा करना है।

उदाहरण।

चरणों का पालन करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम कोष्ठक में भिन्नों को घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य विभाजक पर लाते हैं, जो है , जिसके बाद हम अंशों को घटाते हैं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, x 1/2 की शक्ति से कम करना संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर में घात अभिव्यक्ति को सरल भी बना सकते हैं: .

उत्तर:

उदाहरण।

शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से कम किया जा सकता है, इससे भिन्न प्राप्त होता है . यह स्पष्ट है कि X की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में बदल देते हैं। इससे हमें समान आधारों पर शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का लाभ उठाने का अवसर मिलता है: . और प्रक्रिया के अंत में हम अंतिम उत्पाद से भिन्न की ओर बढ़ते हैं।

उत्तर:

.

और आइए हम यह भी जोड़ें कि यह संभव है, और कई मामलों में वांछनीय है, कि घातांक के चिह्न को बदलते हुए, नकारात्मक घातांक वाले कारकों को अंश से हर में या हर से अंश में स्थानांतरित किया जाए। ऐसे परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति को द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों से रूपांतरित करना

प्रायः जिन भावों में कुछ परिवर्तन की आवश्यकता होती है, उनमें घातों के साथ भिन्नात्मक घातांक वाले मूल भी मौजूद होते हैं। ऐसी अभिव्यक्ति को परिवर्तित करने के लिए सही प्रकार, अधिकांश मामलों में केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाना ही पर्याप्त है। लेकिन चूंकि शक्तियों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से शक्तियों की ओर बढ़ते हैं। हालाँकि, इस तरह के संक्रमण को अंजाम देने की सलाह तब दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर का ODZ आपको मॉड्यूल को संदर्भित करने या ODZ को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है) लेख जड़ों से शक्तियों और पीठ तक संक्रमण एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो हमें एक मनमाना वास्तविक घातांक के साथ एक डिग्री के बारे में बात करने की अनुमति देती है, इस स्तर पर, यह होना शुरू होता है स्कूल में पढ़ाई की. घातांक प्रकार्य , जो विश्लेषणात्मक रूप से एक शक्ति द्वारा दिया जाता है, जिसका आधार एक संख्या है, और घातांक एक चर है। इसलिए हमें घात के आधार में संख्याओं से युक्त घात अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और घातांक में - चर के साथ अभिव्यक्तियाँ, और स्वाभाविक रूप से ऐसी अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणऔर घातांकीय असमानताएँ , और ये रूपांतरण काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और अधिकांश भाग के लिए, भविष्य में एक नया चर पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, शक्तियाँ, जिनके घातांक में एक निश्चित चर (या चर के साथ अभिव्यक्ति) और एक संख्या का योग होता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर अभिव्यक्ति के पहले और अंतिम शब्दों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति 7 2 x द्वारा विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं) अभी इसके बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करें):

अब हम भिन्नों को घातों से रद्द कर सकते हैं, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को संबंधों की घातों से बदल दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण बनता है , जो समतुल्य है . किए गए परिवर्तनों से हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति मिलती है, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है।

आई. वी. बॉयकोव, एल. डी. रोमानोवाएकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. पेन्ज़ा 2003।

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सबसे पहले, आइए शक्तियों और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद रखें।

किसी संख्या का गुणनफल एस्वयं n बार घटित होता है, हम इस अभिव्यक्ति को a a … a=a n के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए ≠ 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = ए एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम = ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण - ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घातों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातांकीय समीकरणों के उदाहरण:

में इस उदाहरण मेंसंख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर है एक्सडिग्री या सूचक.

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक सरल समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

यह उदाहरण आपके दिमाग में भी हल हो सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आख़िरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष बराबर होने के लिए, आपको x के स्थान पर संख्या 3 डालनी होगी।
अब आइए देखें कि इस निर्णय को औपचारिक रूप कैसे दिया जाए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया समान आधार(अर्थात, दो) और जो बचा था उसे लिख लिया, ये डिग्रियाँ हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

आइए अब अपने निर्णय को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है समानक्या समीकरण का आधार दाएँ और बाएँ है। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाश रहे हैं।
2. आधार एक समान हो जाने पर, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

आइए अब कुछ उदाहरण देखें:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

बायीं और दायीं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी शक्तियों को बराबर कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण प्राप्त होता है।
x=4 – 2
एक्स=2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं: 3 और 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

सबसे पहले, नौ को दाहिनी ओर ले जाएँ, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2. आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x = (3 2) x+8

हमें 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 मिलता है

3 3x = 3 2x+16 अब यह स्पष्ट है कि बायीं और दायीं ओर आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री को बराबर कर सकते हैं।

3x=2x+16 हमें सबसे सरल समीकरण मिलता है
3x - 2x=16
एक्स=16
उत्तर: x=16.

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार। और हमें चाहिए कि वे भी वैसे ही हों। हम सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करके चारों को रूपांतरित करते हैं।

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमें परेशान करती हैं कि उनका क्या करें? यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हमने 2 2x को दोहराया है, यहां उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

आइए कल्पना करें 4=2 2:

2 2x = 2 2 आधार समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं और डिग्री को बराबर करते हैं।
2x = 2 सबसे सरल समीकरण है. इसे 2 से विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1.

आइए समीकरण हल करें:

9 x – 12*3 x +27= 0

आइए परिवर्तित करें:
9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि पहले तीन में दूसरे (केवल x) की तुलना में दोगुनी (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप हल कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. हम संख्या को सबसे छोटी डिग्री से बदलते हैं:

तब 3 2x = (3 x) 2 = t 2

हम समीकरण में सभी x शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12टी+27 = 0
हम पाते हैं द्विघात समीकरण. विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर लौटना एक्स.

टी 1 लें:
टी 1 = 9 = 3 एक्स

इसलिए,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिल गयी. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:
टी 2 = 3 = 3 एक्स
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 = 2; एक्स 2 = 1.

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