अंतराल श्रृंखला का औसत मान. विविधता संकेतक: गणना के लिए अवधारणा, प्रकार, सूत्र

नमूना सर्वेक्षण के अनुसार, जमाकर्ताओं को शहर के सर्बैंक में उनकी जमा राशि के अनुसार समूहीकृत किया गया था:

परिभाषित करना:

1) भिन्नता की गुंजाइश;

2) औसत जमा राशि;

3) औसत रैखिक विचलन;

4) फैलाव;

5) मानक विचलन;

6) योगदान की भिन्नता का गुणांक।

समाधान:

इस वितरण श्रृंखला में खुले अंतराल शामिल हैं। ऐसी श्रृंखला में, पारंपरिक रूप से पहले समूह के अंतराल का मान अगले समूह के अंतराल के मान के बराबर माना जाता है, और अंतिम समूह के अंतराल का मान दूसरे समूह के अंतराल के मान के बराबर होता है। पिछला वाला.

दूसरे समूह के अंतराल का मान 200 के बराबर है, इसलिए पहले समूह का मान भी 200 के बराबर है। अंतिम समूह के अंतराल का मान 200 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि अंतिम अंतराल भी 200 के बराबर होगा। 200 का मान है.

1) आइए हम भिन्नता की सीमा को सबसे बड़े और के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित करें सबसे कम मूल्यसंकेत:

जमा राशि में भिन्नता की सीमा 1000 रूबल है।

2) योगदान का औसत आकार भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाएगा।

आइए पहले प्रत्येक अंतराल में विशेषता का अलग-अलग मान निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके, हम अंतरालों के मध्यबिंदु ज्ञात करते हैं।

पहले अंतराल का औसत मान होगा:

दूसरा - 500, आदि।

आइए तालिका में गणना परिणाम दर्ज करें:

जमा राशि, रगड़ें।	जमाकर्ताओं की संख्या, च	अंतराल के मध्य, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
कुल	400	-	312000

शहर के सर्बैंक में औसत जमा राशि 780 रूबल होगी:

3) औसत रैखिक विचलन समग्र औसत से किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के पूर्ण विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

अंतराल वितरण श्रृंखला में औसत रैखिक विचलन की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. भारित अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है, जैसा कि पैराग्राफ 2 में दिखाया गया है)।

2. औसत से पूर्ण विचलन निर्धारित किए जाते हैं:

3. परिणामी विचलन को आवृत्तियों से गुणा किया जाता है:

4. चिह्न को ध्यान में रखे बिना भारित विचलनों का योग ज्ञात कीजिए:

5. भारित विचलनों का योग आवृत्तियों के योग से विभाजित होता है:

गणना डेटा तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है:

जमा राशि, रगड़ें।	जमाकर्ताओं की संख्या, च	अंतराल के मध्य, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
कुल	400	-	-	-	81280

Sberbank ग्राहकों की जमा राशि का औसत रैखिक विचलन 203.2 रूबल है।

4) फैलाव अंकगणितीय माध्य से प्रत्येक विशेषता मान के वर्ग विचलन का अंकगणितीय माध्य है।

अंतराल वितरण श्रृंखला में विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

इस मामले में विचरण की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. भारित अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें, जैसा कि पैराग्राफ 2 में दिखाया गया है)।

2. औसत से विचलन ज्ञात करें:

3. औसत से प्रत्येक विकल्प के विचलन का वर्ग करें:

4. विचलनों के वर्गों को भार (आवृत्तियों) से गुणा करें:

5. परिणामी उत्पादों का योग करें:

6. परिणामी राशि को वज़न (आवृत्तियों) के योग से विभाजित किया जाता है:

आइए गणनाओं को एक तालिका में रखें:

जमा राशि, रगड़ें।	जमाकर्ताओं की संख्या, च	अंतराल के मध्य, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
कुल	400	-	-	-	23040000

जब अनुसंधान के परिणामों को सांख्यिकीय रूप से संसाधित किया जाता है विभिन्न प्रकारप्राप्त मूल्यों को अक्सर अंतराल के अनुक्रम में समूहीकृत किया जाता है। ऐसे अनुक्रमों के सामान्यीकृत संयोजनों की गणना करने के लिए, कभी-कभी गणना करना आवश्यक होता है मध्य अंतराल- "केंद्रीय विकल्प"। इसकी गणना करने की विधियाँ काफी प्राचीन हैं, लेकिन उनमें माप के लिए उपयोग किए जाने वाले पैमाने और समूहीकरण की प्रकृति (खुले या बंद अंतराल) दोनों से उत्पन्न होने वाली कुछ विशेषताएं हैं।

निर्देश

1. यदि अंतराल एक स्थिर संख्यात्मक अनुक्रम का एक खंड है, तो इसके मध्य को खोजने के लिए, अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए सामान्य गणितीय तरीकों का उपयोग करें। न्यूनतम मूल्य अंतराल(उनकी प्रस्तावना) अधिकतम (अंत) के साथ जोड़ें और कुल को आधे में विभाजित करें - यह अंकगणित माध्य की गणना करने के तरीकों में से एक है। मान लीजिए कि यह नियम कब लागू होता है हम बात कर रहे हैंउम्र के बारे में अंतरालएक्स। मान लीजिए, अधेड़ उम्र अंतराल 21 से 33 वर्ष की सीमा में निशान 27 वर्ष पुराना होगा क्योंकि (21+33)/2=27।

2. कभी-कभी ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है अंतराल. इस विकल्प में, पहले सीमा की चौड़ाई निर्धारित करें - अधिकतम मान से न्यूनतम मान घटाएँ। इसके बाद, परिणामी मूल्य को आधे में विभाजित करें और कुल को सीमा के न्यूनतम मूल्य में जोड़ें। मान लीजिए, यदि निचली सीमा 47.15 के मान से मेल खाती है, और ऊपरी सीमा 79.13 से मेल खाती है, तो सीमा की चौड़ाई 79.13-47.15 = 31.98 होगी। फिर मध्य अंतराल 63.14 होगा क्योंकि 47.15+(31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14.

3. यदि अंतराल किसी साधारण संख्या अनुक्रम का हिस्सा नहीं है, तो इसकी गणना करें मध्यउपयोग किए गए मापने के पैमाने की पुनरावृत्ति और आयाम के अनुसार। मान लीजिए, अगर हम किसी ऐतिहासिक काल की बात कर रहे हैं तो मध्य अंतरालएक निश्चित होगा कैलेंडर तिथि. अभीतक के लिए तो अंतराल 1 जनवरी 2012 से 31 जनवरी 2012 तक मध्यबिंदु 16 जनवरी 2012 होगा।

4. सामान्य (बंद) अंतरालों के अलावा, सांख्यिकीय अनुसंधान विधियां "खुले" अंतरालों के साथ भी काम कर सकती हैं। ऐसी श्रेणियों के लिए, सीमाओं में से एक को परिभाषित नहीं किया गया है। उदाहरण के लिए, खुली अवधि को "50 वर्ष और उससे अधिक आयु वालों के लिए" शब्द द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस मामले में मध्य को सादृश्य की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है - यदि प्रश्न में अनुक्रम की अन्य सभी श्रेणियों की चौड़ाई समान है, तो यह माना जाता है कि इस खुले अंतराल का आयाम समान है। विपरीत स्थिति में, आपको खुले अंतराल से पहले अंतराल की चौड़ाई के कायापलट की गतिशीलता निर्धारित करने की आवश्यकता है, और कायापलट की परिणामी प्रवृत्ति के आधार पर इसकी सशर्त चौड़ाई प्राप्त करें।

कभी-कभी रोजमर्रा की गतिविधियों में इसका पता लगाने की जरूरत पड़ सकती है मध्यसीधी रेखा खंड. उदाहरण के लिए, यदि आपको कोई पैटर्न बनाना है, किसी उत्पाद का स्केच बनाना है, या किसी लकड़ी के ब्लॉक को आसानी से दो बराबर भागों में काटना है। ज्यामिति और थोड़ी-सी रोजमर्रा की सरलता बचाव में आती है।

आपको चाहिये होगा

• कम्पास, शासक; पिन, पेंसिल, धागा

निर्देश

1. लंबाई मापने के लिए तैयार किए गए सामान्य उपकरणों का उपयोग करें। यह खोजने का सबसे आसान तरीका है मध्यखंड। एक रूलर या टेप माप से खंड की लंबाई मापें, परिणामी मान को आधे में विभाजित करें और खंड के एक छोर से परिणामी कुल को मापें। आपको खंड के मध्य के अनुरूप एक बिंदु मिलेगा।

2. किसी खंड का मध्यबिंदु ज्ञात करने की एक अधिक सटीक विधि है, जो स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से सीखी गई है। ऐसा करने के लिए, एक कम्पास और एक रूलर लें, और रूलर को सीधी भुजा वाली उपयुक्त लंबाई की किसी भी वस्तु से बदला जा सकता है।

3. कम्पास के पैरों के बीच की दूरी निर्धारित करें ताकि यह खंड की लंबाई के बराबर हो या खंड के आधे से बड़ा हो। इसके बाद, कंपास सुई को खंड के एक छोर पर रखें और एक अर्धवृत्त बनाएं ताकि वह खंड को प्रतिच्छेद करे। सुई को खंड के दूसरे छोर पर ले जाएं और, कम्पास के पैरों की अवधि को बदले बिना, उसी तरह से दूसरा अर्धवृत्त सही ढंग से खींचें।

4. आपको खंड के दोनों ओर अर्धवृत्तों के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु प्राप्त हुए हैं, मध्यजिसे हम खोजना चाहते हैं. एक रूलर या एक फ्लैट ब्लॉक का उपयोग करके इन दोनों बिंदुओं को मिलाएं। कनेक्टिंग लाइन खंड के बिल्कुल मध्य से गुजरेगी।

5. यदि आपके पास कंपास नहीं है या खंड की लंबाई उसके पैरों की संभावित अवधि से काफी अधिक है, तो आप तात्कालिक साधनों से एक साधारण उपकरण का उपयोग कर सकते हैं। इसे साधारण पिन, धागे और पेंसिल से बनाया जा सकता है। धागे के सिरों को एक पिन और एक पेंसिल से बांधें, और धागे की लंबाई खंड की लंबाई से थोड़ी अधिक होनी चाहिए। कम्पास के ऐसे तात्कालिक विकल्प के साथ, जो कुछ बचा है वह ऊपर वर्णित चरणों का पालन करना है।

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उपयोगी सलाह
आप एक साधारण धागे या कॉर्ड का उपयोग करके किसी बोर्ड या ब्लॉक के मध्य का सटीक रूप से पता लगा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, धागे को काटें ताकि यह बोर्ड या बार की लंबाई से मेल खाए। जो कुछ बचा है वह धागे को आधा मोड़ना और दो बराबर भागों में काटना है। परिणामी माप के एक सिरे को मापी जा रही वस्तु के सिरे से जोड़ दें, और दूसरा सिरा उसके मध्य के अनुरूप होगा।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय, पहले प्रत्येक अंतराल के लिए ऊपरी और निचली सीमाओं के आधे योग के रूप में माध्य निर्धारित करें, और फिर पूरी श्रृंखला का माध्य निर्धारित करें। खुले अंतराल के मामले में, निचले या ऊपरी अंतराल का मान उनके निकटवर्ती अंतराल के आकार से निर्धारित होता है।

उदाहरण 3 . परिभाषित करना मध्यम आयुशाम के छात्र.

वर्ष में उम्र	छात्रों की संख्या	अंतराल का औसत मान	अंतराल के मध्य बिंदु (आयु) और छात्रों की संख्या का उत्पाद
20 तक		(18 + 20) / 2 =19 18 इस मामले में, निचले अंतराल की सीमा। 20 - (22-20) के रूप में परिकलित
20 - 22		(20 + 22) / 2 = 21
22 - 26		(22 + 26) / 2 = 24
26 - 30		(26 + 30) / 2 = 28
30 या अधिक		(30 + 34) / 2 = 32
कुल

अंतराल श्रृंखला से गणना की गई औसत अनुमानित हैं।

1. संरचनात्मक औसत

बिजली औसत के अलावा, आंकड़ों में, एक अलग विशेषता के मूल्य और वितरण श्रृंखला की विशेषताओं के सापेक्ष लक्षण वर्णन के लिए, संरचनात्मक औसत का उपयोग किया जाता है: मोड और माध्यिका।

पहनावा- यह श्रृंखला का सबसे आम संस्करण है. उदाहरण के लिए, फैशन का उपयोग उन कपड़ों और जूतों के आकार को निर्धारित करने में किया जाता है जिनकी ग्राहकों के बीच सबसे अधिक मांग है।

असतत श्रृंखला के लिए मोड उच्चतम आवृत्ति वाला मोड है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए मोड की गणना करते समय, आपको यह करना होगा:

पहले मोडल अंतराल निर्धारित करें (अधिकतम आवृत्ति द्वारा),

तब - सूत्र के अनुसार विशेषता के मोडल मान का मान:

मोड को ग्राफ़िक रूप से निर्धारित करना: मोड वितरण के हिस्टोग्राम द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके लिए

मोडल आयत का दायाँ शीर्ष पिछले आयत के ऊपरी दाएँ कोने से जुड़ा होता है, और मोडल आयत का बायाँ शीर्ष अगले आयत के ऊपरी बाएँ कोने से जुड़ा होता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज वितरण मोड होगा।

मंझला

मंझला- यह उस विशेषता का मान है जो भिन्नता श्रृंखला को दो समान भागों में विभाजित करता है।

एक पृथक श्रृंखला के लिए माध्यिका.

इरादा करना एक पृथक श्रृंखला में मध्यस्थविषम के साथपहले अवलोकन इकाइयों की संख्या माध्यिका संख्यासूत्र का उपयोग करके:, और फिर निर्धारित करें कि विकल्प के किस मूल्य में औसत संख्या के बराबर संचित आवृत्ति है।

यदि श्रृंखला में शामिल है यहां तक ​​कीतत्वों की संख्या, तो माध्यिका मध्य में स्थित दो विशेषता मानों के औसत के बराबर होगी। इनमें से पहले चिह्न की संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: , दूसरे के लिए - . = n (एक पंक्ति में तत्वों की संख्या)।

एक अंतराल श्रृंखला के लिए माध्यिका

माध्यिका की गणना करते समय अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिएसबसे पहले, माध्यिका अंतराल जिसके भीतर माध्यिका स्थित है, निर्धारित किया जाता है।

यह करने के लिए:

उदाहरण . अंतराल श्रृंखला के लिए बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

आयु के अनुसार समूह	छात्रों की संख्या	संचित आवृत्तियों का योग ΣS
25 - 30	1054	2272
45 वर्ष या उससे अधिक

समाधान :

आइए फैशन को परिभाषित करें

इस उदाहरण में, मोडल अंतराल 25-30 वर्ष के आयु समूह के भीतर है, क्योंकि इस अंतराल की आवृत्ति सबसे अधिक (1054) है।

आइए मोड के परिमाण की गणना करें:

इसका मतलब है कि छात्रों की आदर्श आयु 27 वर्ष है।

आइए माध्यिका ज्ञात करें।

माध्यिका अंतराल अंदर है आयु वर्ग 25-30 वर्ष, चूँकि इस अंतराल के भीतर एक विकल्प है जो जनसंख्या को दो बराबर भागों में विभाजित करता है (Σf मैं /2 = 3462/2 = 1731). इसके बाद, हम आवश्यक संख्यात्मक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और माध्यिका का मान प्राप्त करते हैं:

इसका मतलब है कि आधे छात्र 27.4 वर्ष से कम उम्र के हैं, और दूसरे आधे 27.4 वर्ष से अधिक उम्र के हैं।

ग्राफ़िक रूप से, माध्यिका संचयी द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसे निर्धारित करने के लिए, सबसे बड़े कोटि की ऊंचाई, जो सभी आवृत्तियों के योग से मेल खाती है, को आधे में विभाजित किया गया है। प्राप्त बिंदु के माध्यम से

भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें जब तक कि वह संचयी अक्ष के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज मध्यिका है।

अक्सर आंकड़ों में, किसी घटना या प्रक्रिया का विश्लेषण करते समय, न केवल अध्ययन किए जा रहे संकेतकों के औसत स्तर के बारे में जानकारी को ध्यान में रखना आवश्यक होता है, बल्कि यह भी व्यक्तिगत इकाइयों के मूल्यों में बिखराव या भिन्नता , जो है महत्वपूर्ण विशेषताजनसंख्या का अध्ययन किया जा रहा है।

स्टॉक की कीमतें, आपूर्ति और मांग की मात्रा में सबसे अधिक भिन्नता होती है। ब्याज दरेंवी अलग-अलग अवधिसमय और विभिन्न स्थानों पर.

भिन्नता को दर्शाने वाले मुख्य संकेतक , सीमा, फैलाव, मानक विचलन और भिन्नता का गुणांक हैं।

भिन्नता की सीमा विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच अंतर का प्रतिनिधित्व करता है: आर = एक्समैक्स - एक्समिन. इस सूचक का नुकसान यह है कि यह केवल किसी गुण की भिन्नता की सीमाओं का मूल्यांकन करता है और इन सीमाओं के भीतर इसकी परिवर्तनशीलता को प्रतिबिंबित नहीं करता है।

फैलाव इस कमी का अभाव है. इसकी गणना उनके गुण मानों के विचलन के औसत वर्ग के रूप में की जाती है सामान्य आकार:

विचरण की गणना करने का एक सरल तरीका निम्नलिखित सूत्रों (सरल और भारित) का उपयोग करके किया गया:

इन सूत्रों के अनुप्रयोग के उदाहरण कार्य 1 और 2 में प्रस्तुत किए गए हैं।

व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला सूचक है मानक विचलन :

मानक विचलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है वर्गमूलविचरण से और अध्ययन किए जा रहे गुण के समान आयाम है।

विचार किए गए संकेतक हमें भिन्नता का पूर्ण मूल्य प्राप्त करने की अनुमति देते हैं, अर्थात। अध्ययन की जा रही विशेषता के माप की इकाइयों में इसका मूल्यांकन करें। उनके विपरीत, गुणांक का परिवर्तन परिवर्तनशीलता को सापेक्ष रूप में मापता है - औसत स्तर के सापेक्ष, जो कई मामलों में बेहतर होता है।

भिन्नता के गुणांक की गणना के लिए सूत्र.

"सांख्यिकी में भिन्नता के संकेतक" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

समस्या 1 . क्षेत्र के बैंकों में औसत मासिक जमा के आकार पर विज्ञापन के प्रभाव का अध्ययन करते समय, 2 बैंकों की जांच की गई। अग्रांकित परिणाम प्राप्त किए गए थे:

परिभाषित करना:
1) प्रत्येक बैंक के लिए: ए) प्रति माह औसत जमा; बी) योगदान फैलाव;
2) दो बैंकों की औसत मासिक जमा राशि;
3) विज्ञापन के आधार पर 2 बैंकों के लिए जमा भिन्नता;
4) विज्ञापन को छोड़कर सभी कारकों के आधार पर, 2 बैंकों के लिए जमा भिन्नता;
5) जोड़ नियम का उपयोग करके कुल विचरण;
6) निर्धारण का गुणांक;
7) सहसंबंध संबंध.

समाधान

1) आइए विज्ञापन वाले बैंक के लिए एक गणना तालिका बनाएं . औसत मासिक जमा राशि निर्धारित करने के लिए, हम अंतरालों के मध्य बिंदु ज्ञात करेंगे। इस मामले में, खुले अंतराल (पहला) का मान सशर्त रूप से उससे सटे अंतराल (दूसरे) के मान के बराबर होता है।

हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके औसत जमा राशि ज्ञात करेंगे:

29,000/50 = 580 रूबल।

हम सूत्र का उपयोग करके योगदान का विचरण ज्ञात करते हैं:

23 400/50 = 468

समान क्रियाएंहम उत्पादन करेंगे बिना विज्ञापन वाले बैंक के लिए :

2) आइए दोनों बैंकों का औसत जमा आकार ज्ञात करें। Хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 रूबल।

3) हम विज्ञापन के आधार पर, सूत्र का उपयोग करके दो बैंकों के लिए जमा राशि का अंतर ज्ञात करेंगे: σ 2 =पीक्यू (वैकल्पिक विशेषता के अंतर के लिए सूत्र)। यहां p=0.5 विज्ञापन पर निर्भर कारकों का अनुपात है; q=1-0.5, फिर σ 2 =0.5*0.5=0.25.

4) चूंकि अन्य कारकों का हिस्सा 0.5 है, विज्ञापन को छोड़कर सभी कारकों के आधार पर दो बैंकों के लिए जमा का अंतर भी 0.25 है।

5) जोड़ नियम का उपयोग करके कुल विचरण निर्धारित करें।

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 तथ्य + σ 2 शेष = 552.08+345.96 = 898.04

6) निर्धारण गुणांक η 2 = σ 2 तथ्य / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - योगदान का आकार 39% विज्ञापन पर निर्भर करता है।

7) अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात η = √η 2 = √0.39 = 0.62 - संबंध काफी करीबी है।

समस्या 2 . विपणन योग्य उत्पादों के आकार के अनुसार उद्यमों का एक समूह है:

निर्धारित करें: 1) विपणन योग्य उत्पादों के मूल्य का फैलाव; 2) मानक विचलन; 3) भिन्नता का गुणांक.

समाधान

1) शर्त के अनुसार, एक अंतराल वितरण श्रृंखला प्रस्तुत की जाती है। इसे विवेकपूर्वक व्यक्त किया जाना चाहिए, अर्थात, अंतराल (x") के बीच का पता लगाएं। बंद अंतराल के समूहों में, हम एक साधारण अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके मध्य पाते हैं। ऊपरी सीमा वाले समूहों में - इस ऊपरी सीमा के बीच के अंतर के रूप में और अगले अंतराल का आधा आकार (200-(400 -200):2=100)।

निचली सीमा वाले समूहों में - इस निचली सीमा का योग और पिछले अंतराल का आधा आकार (800+(800-600):2=900)।

हम सूत्र का उपयोग करके विपणन योग्य उत्पादों के औसत मूल्य की गणना करते हैं:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. यहां a=500 उच्चतम आवृत्ति पर विकल्प का आकार है, k=600-400=200 है उच्चतम आवृत्ति पर अंतराल का आकार आइए परिणाम को तालिका में रखें:

तो, अध्ययन के तहत अवधि के लिए वाणिज्यिक उत्पादन का औसत मूल्य आम तौर पर Хср = (-5:37)×200+500=472.97 हजार रूबल के बराबर है।

2) हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके विचरण ज्ञात करते हैं:

σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05

3) मानक विचलन: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 ≈ ±186.94 हजार रूबल।

4) भिन्नता का गुणांक: V = (σ /Хср)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%

उदाहरण : छात्र की औसत आयु निर्धारित करना आवश्यक है पत्राचार प्रपत्रनिम्नलिखित तालिका में निर्दिष्ट आंकड़ों के अनुसार प्रशिक्षण:

छात्रों की आयु, वर्ष ( एक्स)	छात्रों की संख्या, लोग ( एफ)	अंतराल का औसत मूल्य (एक्स", एक्ससेंट्रल)	क्सी*एफमैं
26 और अधिक उम्र
कुल:

अंतराल श्रृंखला में औसत की गणना करने के लिए, पहले अंतराल के औसत मूल्य को ऊपरी और निचली सीमाओं के आधे योग के रूप में निर्धारित करें, और फिर अंकगणितीय भारित औसत सूत्र का उपयोग करके औसत की गणना करें।

ऊपर समान अंतराल वाला एक उदाहरण है, जिसमें पहला और आखिरी खुला है।

उत्तर:छात्र की औसत आयु 22.6 वर्ष या लगभग 23 वर्ष है।

अनुकूल माध्यइसकी संरचना अंकगणितीय माध्य से अधिक जटिल है। ऐसे मामलों में उपयोग किया जाता है जहां सांख्यिकीय जानकारी में व्यक्ति के लिए आवृत्तियाँ शामिल नहीं हैं विशेषता का मान, और विशेषता मान के उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है आवृत्ति . एक प्रकार के शक्ति माध्य के रूप में हार्मोनिक माध्य इस प्रकार दिखता है:

स्रोत डेटा की प्रस्तुति के रूप के आधार पर, हार्मोनिक माध्य की गणना सरल या भारित के रूप में की जा सकती है। यदि स्रोत डेटा समूहीकृत नहीं है, तो औसत हार्मोनिक सरल :

इसका उपयोग निर्धारण के मामलों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, कई उद्यमों के लिए उत्पादन की प्रति इकाई श्रम, सामग्री आदि की औसत लागत।

समूहीकृत डेटा के साथ काम करते समय, उपयोग करें भारित हार्मोनिक माध्य:

ज्यामितीय माध्यऐसे मामलों में लागू होता है जहां जब औसत सुविधा की कुल मात्रा एक गुणक मात्रा होती है,वे। योग द्वारा नहीं, बल्कि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को गुणा करके निर्धारित किया जाता है.

ज्यामितीय भारित माध्य का आकार व्यावहारिक गणना में लागू नहीं .

वर्ग मतलब ऐसे मामलों में उपयोग किया जाता है, जहां किसी विशेषता के व्यक्तिगत मानों को औसत मान से प्रतिस्थापित करते समय, मूल मानों के वर्गों के योग को अपरिवर्तित रखना आवश्यक होता है .

घर इसके उपयोग का दायरा - अंकगणित माध्य के सापेक्ष किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के उतार-चढ़ाव की डिग्री का माप(मानक विचलन). इसके अलावा, माध्य वर्ग उन मामलों में उपयोग किया जाता है जहां औसत मूल्य की गणना करना आवश्यक होता है माप की वर्ग या घन इकाइयों में व्यक्त एक विशेषता (वर्ग क्षेत्रफलों के औसत आकार, औसत व्यास की गणना करते समय पाइप, ट्रंक, आदि)।

मूल माध्य वर्ग की गणना दो रूपों में की जाती है:

सभी शक्ति साधन घातांक के मान में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।एक ही समय पर, घातांक जितना ऊँचा होगा, उतना ही अधिक होगाऔसत का मात्रात्मक मूल्य:

शक्ति औसत के इस गुण को कहा जाता है औसत के बहुमत की संपत्ति.