समन्वय विधि का उपयोग करके एक ज्यामितीय समस्या को हल करने के लिए, एक प्रतिच्छेदन बिंदु की आवश्यकता होती है, जिसके निर्देशांक समाधान में उपयोग किए जाते हैं। ऐसी स्थिति उत्पन्न होती है जब आपको किसी समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक देखने या अंतरिक्ष में समान रेखाओं के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। यह आलेख उन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के मामलों पर विचार करता है जहां दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करना आवश्यक है।

अध्याय सापेक्ष स्थितिएक समतल पर सीधी रेखाएँ दर्शाती हैं कि वे संपाती हो सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं, एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, या प्रतिच्छेद कर सकती हैं। अंतरिक्ष में दो रेखाओं को प्रतिच्छेदी कहा जाता है यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा इस प्रकार है:

परिभाषा 1

वह बिंदु जिस पर दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, उनका प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है। दूसरे शब्दों में, प्रतिच्छेदी रेखाओं का बिंदु प्रतिच्छेद बिंदु है।

आइए नीचे दिए गए चित्र को देखें।

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले नीचे दिए गए उदाहरण पर विचार करना आवश्यक है।

यदि विमान में एक समन्वय प्रणाली O x y है, तो दो सीधी रेखाएँ a और b निर्दिष्ट हैं। डायरेक्ट ए मेल खाता है सामान्य समीकरणप्रपत्र A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, पंक्ति b के लिए - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. तब M 0 (x 0 , y 0) समतल का एक निश्चित बिंदु है, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या बिंदु M 0 इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

समस्या के समाधान के लिए परिभाषा का पालन करना आवश्यक है। फिर रेखाओं को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए जिसके निर्देशांक दिए गए समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का समाधान हैं। इसका मतलब यह है कि प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक सभी दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित किए जाते हैं। यदि, प्रतिस्थापित करने पर, वे सही पहचान देते हैं, तो M 0 (x 0 , y 0) को उनका प्रतिच्छेदन बिंदु माना जाता है।

उदाहरण 1

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ 5 x - 2 y - 16 = 0 और 2 x - 5 y - 19 = 0 दी गई हैं। क्या बिंदु M 0 निर्देशांक (2, - 3) के साथ एक प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

समाधान

रेखाओं का प्रतिच्छेदन वैध होने के लिए यह आवश्यक है कि बिंदु M 0 के निर्देशांक रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करें। इन्हें प्रतिस्थापित करके इसकी जाँच की जा सकती है। हमें वह मिल गया

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

दोनों समानताएँ सत्य हैं, जिसका अर्थ है कि M 0 (2, - 3) दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए चित्रित करें यह निर्णयनीचे दिए गए चित्र की निर्देशांक रेखा पर।

उत्तर:निर्दिष्ट बिंदूनिर्देशांक (2,-3) के साथ दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

उदाहरण 2

क्या रेखाएँ 5 x + 3 y - 1 = 0 और 7 x - 2 y + 11 = 0 बिंदु M 0 (2, - 3) पर प्रतिच्छेद करेंगी?

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, आपको बिंदु के निर्देशांक को सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करना होगा। हमें वह मिल गया

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

दूसरी समानता सत्य नहीं है, इसका मतलब है कि दिया गया बिंदु रेखा 7 x - 2 y + 11 = 0 से संबंधित नहीं है। इससे हमें पता चलता है कि बिंदु M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

चित्र स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। उनके पास निर्देशांक (- 1, 2) के साथ एक सामान्य बिंदु है।

उत्तर:निर्देशांक (2,-3) वाला बिंदु दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

हम समतल पर दिए गए समीकरणों का उपयोग करके दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं।

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b, O x y पर स्थित A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 के रूप के समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु M 0 को निर्दिष्ट करते समय, हम पाते हैं कि हमें समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का उपयोग करके निर्देशांक की खोज जारी रखनी चाहिए।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि M 0 रेखाओं के प्रतिच्छेदन का उभयनिष्ठ बिंदु है। इस स्थिति में, इसके निर्देशांक को समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 को संतुष्ट करना होगा। दूसरे शब्दों में, यह परिणामी प्रणाली A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का समाधान है।

इसका मतलब यह है कि प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, सिस्टम के सभी समीकरणों को जोड़ना और इसे हल करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

समतल पर दो सीधी रेखाएँ x - 9 y + 14 = 0 और 5 x - 2 y - 16 = 0 दी गई हैं। उनका प्रतिच्छेदन खोजना आवश्यक है।

समाधान

समीकरण की शर्तों पर डेटा को सिस्टम में एकत्र किया जाना चाहिए, जिसके बाद हमें x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 प्राप्त होता है। इसे हल करने के लिए, x के लिए पहले समीकरण को हल करें और अभिव्यक्ति को दूसरे में प्रतिस्थापित करें:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

परिणामी संख्याएँ वे निर्देशांक हैं जिन्हें खोजने की आवश्यकता है।

उत्तर: M 0 (4, 2) रेखाओं x - 9 y + 14 = 0 और 5 x - 2 y - 16 = 0 का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

निर्देशांक ढूँढना रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए आता है। यदि शर्त के अनुसार भिन्न प्रकार का समीकरण दिया गया हो तो उसे सामान्य रूप में कर देना चाहिए।

उदाहरण 4

रेखाओं x - 5 = y - 4 - 3 और x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान

सबसे पहले आपको समीकरण लाने होंगे सामान्य उपस्थिति. तब हम पाते हैं कि x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R को इस प्रकार रूपांतरित किया जाता है:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

फिर हम विहित रूप x - 5 = y - 4 - 3 का समीकरण लेते हैं और इसे रूपांतरित करते हैं। हमें वह मिल गया

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

यहां से हमें पता चला कि निर्देशांक प्रतिच्छेदन बिंदु हैं

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

आइए निर्देशांक खोजने के लिए क्रैमर विधि का उपयोग करें:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

उत्तर:म0 (- 5 , 1) .

किसी समतल पर स्थित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का भी एक तरीका है। यह तब लागू होता है जब पंक्तियों में से एक को x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R के रूप के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है। फिर मान x के स्थान पर हम x = x 1 + a x λ और y = y 1 + a y λ प्रतिस्थापित करते हैं, जहां हमें λ = λ 0 मिलता है, जो निर्देशांक x 1 + a x λ 0, y 1 वाले प्रतिच्छेदन बिंदु के अनुरूप है। + ए वाई λ 0 .

उदाहरण 5

रेखा x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R और x - 5 = y - 4 - 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान

x - 5 = y - 4 - 3 में अभिव्यक्ति x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ के साथ प्रतिस्थापन करना आवश्यक है, तो हमें मिलता है:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

हल करते समय, हम पाते हैं कि λ = - 1. इसका तात्पर्य यह है कि रेखाओं x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R और x - 5 = y - 4 - 3 के बीच एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। निर्देशांक की गणना करने के लिए, आपको पैरामीट्रिक समीकरण में अभिव्यक्ति λ = - 1 को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। तब हम पाते हैं कि x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

उत्तर:म0 (- 5 , 1) .

विषय को पूरी तरह से समझने के लिए आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा।

सबसे पहले आपको लाइनों के स्थान को समझने की आवश्यकता है। जब वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो हम निर्देशांक ढूंढ लेंगे; अन्य मामलों में, कोई समाधान नहीं होगा। इस जाँच से बचने के लिए, आप A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 फॉर्म की एक प्रणाली बना सकते हैं। यदि कोई समाधान है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यदि कोई समाधान नहीं है, तो वे समानांतर हैं। जब किसी सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, तो उन्हें संपाती कहा जाता है।

उदाहरण 6

दी गई पंक्तियाँ x 3 + y - 4 = 1 और y = 4 3 x - 4. निर्धारित करें कि क्या उनके पास एक समान बिंदु है।

समाधान

दिए गए समीकरणों को सरल बनाने पर, हमें 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 और 4 3 x - y - 4 = 0 प्राप्त होता है।

आगामी समाधान के लिए समीकरणों को एक प्रणाली में एकत्रित किया जाना चाहिए:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

इससे हम देख सकते हैं कि समीकरण एक-दूसरे के माध्यम से व्यक्त होते हैं, फिर हमें अनंत संख्या में समाधान मिलते हैं। फिर समीकरण x 3 + y - 4 = 1 और y = 4 3 x - 4 एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं। इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

उत्तर:दिए गए समीकरण समान सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 7

रेखाओं 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 और 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार यह संभव है, रेखाएं एक दूसरे को नहीं काटेंगी। समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और हल करना आवश्यक है। हल करने के लिए, गाऊसी विधि का उपयोग करना आवश्यक है, क्योंकि इसकी मदद से संगतता के लिए समीकरण की जांच करना संभव है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

हमें गलत समानता प्राप्त हुई, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं। कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं.

दूसरा उपाय.

सबसे पहले आपको रेखाओं के प्रतिच्छेदन की उपस्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है।

n 1 → = (2, 2 - 3) रेखा 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 का सामान्य सदिश है, तो सदिश n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 है रेखा 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 के लिए सामान्य वेक्टर।

सदिश n 1 → = (2, 2 - 3) और n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) की संरेखता की जाँच करना आवश्यक है। हमें 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 के रूप की समानता प्राप्त होती है। यह सही है क्योंकि 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश संरेख हैं। इसका मतलब यह है कि रेखाएँ समानांतर हैं और उनका कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

उत्तर:कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, रेखाएँ समानांतर हैं।

उदाहरण 8

दी गई रेखाओं 2 x - 1 = 0 और y = 5 4 x - 2 के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

हल करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। हम पाते हैं

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

आइए मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें। इसके लिए 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. चूँकि यह शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम में 1 समाधान है। इससे यह पता चलता है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए एक प्रणाली को हल करें:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

हमने पाया कि दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक M 0 (1 2, - 11 8) हैं।

उत्तर:म0 (1 2 , - 11 8) .

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना

इसी प्रकार अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किये जाते हैं।

जब सीधी रेखाएं ए और बी दी गई हों विमान का समन्वय O x y z प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण, तो एक सीधी रेखा a होती है, जिसे दिए गए सिस्टम A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है + डी 1 = 0 और सीधी रेखा बी - ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 = 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 = 0।

जब बिंदु M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो इसके निर्देशांक दोनों समीकरणों के समाधान होने चाहिए। हम पाते हैं रेखीय समीकरणसिस्टम में:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 = 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 = 0

आइए उदाहरणों का उपयोग करके समान कार्यों को देखें।

उदाहरण 9

दी गई रेखाओं x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 और 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम सिस्टम x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 बनाते हैं और इसे हल करते हैं। निर्देशांक खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स के माध्यम से हल करने की आवश्यकता है। फिर हमें फॉर्म A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 और विस्तारित मैट्रिक्स T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 का मुख्य मैट्रिक्स प्राप्त होता है। हम मैट्रिक्स की गाऊसी रैंक निर्धारित करते हैं।

हमें वह मिल गया

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक का मान 3 है। तब समीकरण x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 की प्रणाली का परिणाम केवल एक ही होता है।

आधार लघु का सारणिक 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 है, तो अंतिम समीकरण लागू नहीं होता है। हम पाते हैं कि x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. प्रणाली का समाधान - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3।

इसका मतलब यह है कि प्रतिच्छेदन बिंदु x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 और 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 के निर्देशांक (1, - 3, 0) हैं।

उत्तर: (1 , - 3 , 0) .

फॉर्म की प्रणाली A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 का केवल एक ही हल है। इसका मतलब है कि रेखाएं ए और बी प्रतिच्छेद करती हैं।

अन्य मामलों में, समीकरण का कोई हल नहीं है, यानी कोई उभयनिष्ठ बिंदु भी नहीं है। अर्थात्, निर्देशांक के साथ एक बिंदु खोजना असंभव है, क्योंकि यह मौजूद नहीं है।

इसलिए, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z रूप की एक प्रणाली + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 को गॉसियन विधि द्वारा हल किया जाता है। यदि यह असंगत है, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं। यदि समाधानों की संख्या अनंत है, तो वे मेल खाते हैं।

आप मैट्रिक्स के मुख्य और विस्तारित रैंक की गणना करके हल कर सकते हैं, और फिर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय लागू कर सकते हैं। हमें एक मिलता है, अनेक या पूर्ण अनुपस्थितिनिर्णय.

उदाहरण 10

रेखाओं x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 और x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 के समीकरण दिए गए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें.

समाधान

सबसे पहले, आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं। हम पाते हैं कि x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. हम इसे गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करते हैं:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

जाहिर है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं एक दूसरे को नहीं काटती हैं। कोई चौराहा बिंदु नहीं है.

उत्तर:कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है.

यदि रेखाएं शंक्वाकार या पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके दी गई हैं, तो आपको उन्हें प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों के रूप में कम करना होगा, और फिर निर्देशांक ढूंढना होगा।

उदाहरण 11

O x y z में दो पंक्तियाँ x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R और x 2 = y - 3 0 = z 5 दी गई हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें.

समाधान

हम दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा सीधी रेखाओं को परिभाषित करते हैं। हमें वह मिल गया

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

हम निर्देशांक 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 पाते हैं, इसके लिए हम मैट्रिक्स की रैंक की गणना करते हैं। मैट्रिक्स की रैंक 3 है, और आधार माइनर 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 है, जिसका अर्थ है कि अंतिम समीकरण को सिस्टम से बाहर रखा जाना चाहिए। हमें वह मिल गया

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

आइए क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। हम पाते हैं कि x = - 2 y = 3 z = - 5. यहां से हमें पता चलता है कि दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन निर्देशांक (- 2, 3, - 5) के साथ एक बिंदु देता है।

उत्तर: (- 2 , 3 , - 5) .

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"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्ते प्रिय पाठक!

आइए ज्यामितीय एल्गोरिदम से परिचित होना जारी रखें। पिछले पाठ में, हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण पाया। हमें इस रूप का एक समीकरण मिला:

आज हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे, जो दो सीधी रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि कोई हो) के निर्देशांक ढूंढेगा। वास्तविक संख्याओं की समानता की जांच करने के लिए, हम विशेष फ़ंक्शन RealEq() का उपयोग करेंगे।

समतल पर बिंदुओं का वर्णन वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा किया जाता है। वास्तविक प्रकार का उपयोग करते समय, विशेष कार्यों का उपयोग करके तुलना संचालन को लागू करना बेहतर होता है।

कारण ज्ञात है: पास्कल प्रोग्रामिंग सिस्टम में वास्तविक प्रकार पर कोई ऑर्डर संबंध नहीं है, इसलिए फॉर्म ए = बी के रिकॉर्ड का उपयोग न करना बेहतर है, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं।
आज हम "=" (सख्ती से बराबर) ऑपरेशन को लागू करने के लिए RealEq() फ़ंक्शन पेश करेंगे:

फ़ंक्शन RealEq(कॉन्स्ट ए, बी:रियल):बूलियन; (पूरी तरह से बराबर) प्रारंभ RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

काम। दो सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं: और। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान। स्पष्ट समाधान रेखा समीकरणों की प्रणाली को हल करना है: आइए इस प्रणाली को थोड़ा अलग तरीके से फिर से लिखें:
(1)

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: , , . यहां डी सिस्टम का निर्धारक है, और संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक के कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलने से उत्पन्न निर्धारक हैं। यदि, तो सिस्टम (1) निश्चित है, अर्थात इसका एक अद्वितीय समाधान है। यह समाधान निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है: जिन्हें कहा जाता है क्रैमर सूत्र. मैं आपको याद दिला दूं कि दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है। निर्धारक दो विकर्णों को अलग करता है: मुख्य और द्वितीयक। मुख्य विकर्ण में निर्धारक के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक दिशा में लिए गए तत्व शामिल होते हैं। पार्श्व विकर्ण - ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाकर द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

समानता की जांच करने के लिए कोड RealEq() फ़ंक्शन का उपयोग करता है। वास्तविक संख्याओं पर गणना _Eps=1e-7 की सटीकता के साथ की जाती है।

प्रोग्राम जियोम2; स्थिरांक _ईपीएस: वास्तविक=1e-7;(गणना सटीकता) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:वास्तविक;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

फ़ंक्शन RealEq(कॉन्स्ट ए, बी:रियल):बूलियन; (पूरी तरह से बराबर) प्रारंभ RealEq:=Abs(a-b)

हमने एक प्रोग्राम संकलित किया है जिसकी सहायता से आप रेखाओं के समीकरणों को जानकर, उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

यह कार्य संभवतः स्कूली पाठ्यपुस्तकों में सबसे लोकप्रिय और मांग में से एक है। इस विषय पर आधारित कार्य विविध हैं। यह दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा है, यह मूल रेखा पर किसी भी कोण पर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण की भी परिभाषा है।

हम अपनी गणना में प्राप्त डेटा का उपयोग करके इस विषय को कवर करेंगे

यह वहां था कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को एक कोणीय गुणांक वाले समीकरण में बदलने और इसके विपरीत पर विचार किया गया था, और दी गई शर्तों के अनुसार सीधी रेखा के शेष मापदंडों का निर्धारण किया गया था।

जिन समस्याओं के लिए यह पृष्ठ समर्पित है, उन्हें हल करने में हमारे पास क्या कमी है?

1. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक की गणना के लिए सूत्र।

यदि हमारे पास दो पंक्तियाँ हैं जो समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

फिर कोणों में से एक की गणना इस प्रकार की जाती है:

2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

सूत्र 1 से, हम दो सीमा रेखा अवस्थाएँ देख सकते हैं

ए) जब तब और इसलिए ये दो दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं (या संपाती होती हैं)

ख) जब , तब , और इसलिए ये रेखाएँ लंबवत होती हैं, अर्थात समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए दी गई सीधी रेखा के अलावा प्रारंभिक डेटा क्या हो सकता है?

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और वह कोण जिस पर दूसरी सीधी रेखा उसे काटती है

रेखा का दूसरा समीकरण

एक बॉट किन समस्याओं का समाधान कर सकता है?

1. दो पंक्तियाँ दी गई हैं (स्पष्ट रूप से या अप्रत्यक्ष रूप से, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं द्वारा)। प्रतिच्छेदन बिंदु और उन कोणों की गणना करें जिन पर वे प्रतिच्छेद करते हैं।

2. एक सीधी रेखा, एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और एक कोण दिया गया है। एक सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करें जो किसी दी गई रेखा को एक निर्दिष्ट कोण पर काटती है

उदाहरण

समीकरणों द्वारा दो पंक्तियाँ दी गई हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और वे कोण ज्ञात कीजिए जिन पर वे प्रतिच्छेद करती हैं

लाइन_पी ए=11;बी=-5;सी=6,के=3/7;बी=-5

हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है

पहली पंक्ति का समीकरण

y = 2.2 x + (1.2)

दूसरी पंक्ति का समीकरण

y = 0.4285714285714 x + (-5)

दो सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन कोण (डिग्री में)

-42.357454705937

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

एक्स = -3.5

y = -6.5

यह न भूलें कि दो पंक्तियों के पैरामीटर अल्पविराम से अलग होते हैं, और प्रत्येक पंक्ति के पैरामीटर अर्धविराम से अलग होते हैं।

एक सीधी रेखा दो बिंदुओं (1:-4) और (5:2) से होकर गुजरती है। उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2:-8) से होकर गुजरती है और मूल रेखा को 30 डिग्री के कोण पर काटती है।

हम एक सीधी रेखा को जानते हैं क्योंकि हम उन दो बिंदुओं को जानते हैं जिनसे होकर वह गुजरती है।

दूसरी पंक्ति का समीकरण निर्धारित करना बाकी है। एक बिंदु हमें ज्ञात है, और दूसरे के बजाय, वह कोण दर्शाया गया है जिस पर पहली रेखा दूसरे को काटती है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ ज्ञात है, लेकिन यहां मुख्य बात गलती न करना है। हम x-अक्ष और रेखा के बीच नहीं, बल्कि पहली और दूसरी रेखा के बीच के कोण (30 डिग्री) के बारे में बात कर रहे हैं।

यही कारण है कि हम इस तरह पोस्ट करते हैं। आइए पहली पंक्ति के पैरामीटर निर्धारित करें और पता लगाएं कि यह x-अक्ष को किस कोण पर काटती है।

रेखा xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = -6

कारक बी = 4

फैक्टर सी = 22

गुणांक ए= 3.6666666666667

गुणांक बी = -5.5

गुणांक k = 1.5

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 56.309932474019

गुणांक पी = 3.0508510792386

गुणांक q = 2.5535900500422

बिंदुओं के बीच की दूरी=7.211102550928

हम देखते हैं कि पहली रेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है 56.309932474019 डिग्री।

स्रोत डेटा यह बिल्कुल नहीं बताता कि दूसरी पंक्ति पहली को कैसे काटती है। आख़िरकार, आप दो पंक्तियाँ बना सकते हैं जो शर्तों को पूरा करती हैं, पहली 30 डिग्री दक्षिणावर्त और दूसरी 30 डिग्री वामावर्त घूमती है।

आइए उन्हें गिनें

यदि दूसरी रेखा को 30 डिग्री वामावर्त घुमाया जाता है, तो दूसरी रेखा में x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन की डिग्री होगी 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 डिग्री

लाइन_पी xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

निर्दिष्ट मापदंडों के अनुसार एक सीधी रेखा के पैरामीटर

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = 23.011106998916

गुणांक बी = -1.4840558255286

गुणांक सी = 34.149767393603

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण x/a+y/b = 1

गुणांक ए= -1.4840558255286

गुणांक बी = 23.011106998916

कोणीय गुणांक y = kx + b के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक k = 15.505553499458

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 86.309932474019

रेखा का सामान्य समीकरण x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

गुणांक पी = -1.4809790664999

गुणांक q = 3.0771888256405

बिंदुओं के बीच की दूरी=23.058912962428

एक बिंदु से सीधी रेखा की दूरी li =

अर्थात्, हमारी दूसरी पंक्ति का समीकरण y= है 15.505553499458x+ 23.011106998916

विषय 3. सिद्धांत

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति.

समतल और सीधी रेखा के समीकरण.

 सामान्य समीकरण विमान निर्देशांक के संबंध में प्रथम कोटि का बीजगणितीय समीकरण है (एक्स; य; जेड)

- सामान्य , समतल पर लंबवत एक सदिश।

समतलों की समांतरता और लंबवतता की स्थितियाँ सामान्यों की संरेखता और लंबवतता की स्थितियों से निर्धारित होती हैं।

समतल समीकरणों के कुछ मानक प्रकार:

	एक सदिश के लंबवत समतल का समीकरण किसी दिए गए बिंदु से गुजरना एम 0 (एक्स 0 , य 0 , जेड 0 )	ए(x-x 0 )+बी(वर्ष-वर्ष) 0 )+C(z-z 0 )=0
	एक विमान तीन दिए गए बिंदुओं से होकर गुजर रहा है एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1 ) , एम 2 (एक्स 2 , य 2 , जेड 2 ) , एम 3 (एक्स 3 , य 3 , जेड 3 )
	दो दिए गए वैक्टर के समानांतर और , (गैर समरेख ), बिंदु से गुजर रहा है एम 0 (एक्स 0 , य 0 , जेड 0 )
	दिए गए दो बिंदुओं से गुजरना एम 1 और एम 2 , वेक्टर के समानांतर , (गैर समरेख )
	किसी दिए गए बिंदु से गुजरना एम 0 (एक्स 0 , य 0 , जेड 0 ) , दो दिए गए विमानों के लंबवत: ए 1 एक्स+बी 1 वाई+सी 1 z+D 1 =0 ; ए 2 एक्स+बी 2 वाई+सी 2 z+D 2 =0 .

यदि हम पहली पंक्ति में संगत निर्धारक का विस्तार करते हैं तो विमान के वास्तविक समीकरण प्राप्त होंगे।

 गणना के लिए सूत्र दूरीसे दिया गया बिंदु एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1 ) को विमान, समीकरण द्वारा दिया गया आह+द्वारा+ Cz+ डी=0 :

.

जाहिर है, अगर डी=0 , फिर बिंदु एम 1 विमान का है.

 सरल रेखा अंतरिक्ष में इसे दो गैर-समानांतर विमानों (सीधी रेखा से गुजरने वाले किसी भी विमान) के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण के प्रकार:

		एक रेखा के सामान्य समीकरण (दो तलों का प्रतिच्छेदन)
	, एम 0 (एक्स 0 , य 0 , जेड 0 ) - सीधी रेखा पर स्थित कोई बिंदु। -मार्गदर्शक वेक्टर प्रत्यक्ष	विहित समीकरण किसी दिए गए दिशा वेक्टर के साथ किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा या सीधी रेखा के समीकरण
		पैरामीट्रिक समीकरण
		दो दिए गए बिंदुओं एम 1 और एम 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता और लंबवतता की स्थितियों को क्रमशः उनके दिशा वैक्टरों की संरेखता और लंबवतता की स्थितियों के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि सीधी रेखाएँ (1) और (2) विहित या पैरामीट्रिक रूप में दी गई हैं

.

 अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन की स्थिति – यह तीन सदिशों की समरूपता की स्थिति है:

 संक्रमण सामान्य सीधी रेखा समीकरणों से विहित या पैरामीट्रिक रूप में समीकरणों तक निम्नानुसार किया जाता है (रिवर्स संक्रमण भी संभव है)।

सीधी रेखा के समीकरण सामान्य रूप में दिए गए हैं:
.

आइए दिशा वेक्टर के निर्देशांक खोजें:
रेखा को परिभाषित करने वाले तलों के अभिलंबों के सदिश गुणनफल के रूप में।

हम ढूंढ लेंगे कोईएक रेखा से संबंधित एक बिंदु। यह रेखा को परिभाषित करने वाले दोनों विमानों से भी संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक (x 0, y 0, z 0) समीकरणों की प्रणाली से पाए जा सकते हैं:

,

जिसमें निर्देशांकों में से एक को मनमाने ढंग से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (क्योंकि हम पाते हैं कोईबिंदु), लेकिन ताकि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान हो। वेक्टर निर्देशांक और पाया गया बिंदु विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया है।

एक सीधी रेखा और एक तल की समांतरता और लंबवतता की स्थितियां सामान्य और दिशा वेक्टर की लंबवतता और समांतरता की स्थितियों के रूप में तैयार की जाती हैं।

, अल+बीएम+सीएन=0.	, .

प्रतिच्छेदन बिंदु

आइए हमें दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं, जो उनके गुणांकों द्वारा परिभाषित हैं। आपको उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना होगा, या यह पता लगाना होगा कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समाधान

यदि दो रेखाएं समानांतर नहीं हैं तो वे प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, दो सीधी रेखा समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और इसे हल करना पर्याप्त है:

क्रैमर के सूत्र का उपयोग करके, हम तुरंत सिस्टम के लिए एक समाधान ढूंढते हैं, जो वांछित होगा चौराहा बिंदु:

यदि हर शून्य है, अर्थात

तब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (प्रत्यक्ष)। समानांतरऔर मेल नहीं खाते) या अपरिमित रूप से अनेक (प्रत्यक्ष) होते हैं मिलान). यदि इन दो मामलों के बीच अंतर करना आवश्यक है, तो यह जांचना आवश्यक है कि रेखाओं के गुणांक गुणांक के समान आनुपातिकता के साथ आनुपातिक हैं, जिसके लिए यह दो निर्धारकों की गणना करने के लिए पर्याप्त है यदि वे दोनों हैं; शून्य के बराबर, तो रेखाएँ संपाती होती हैं:

कार्यान्वयन

स्ट्रक्चर पीटी(डबल एक्स, वाई;); स्ट्रक्चर लाइन (डबल ए, बी, सी;); स्थिरांक EPS =1e-9; डबल डिट (डबल ए, डबल बी, डबल सी, डबल डी)(रिटर्न ए * डी - बी * सी;) बूल इंटरसेक्ट (लाइन एम, लाइन एन, पीटी और रेज)(डबल जेएन = डिट (एम.ए., एम.बी., एन.ए.) , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

श्रृंखला से सबक " ज्यामितीय एल्गोरिदम»

नमस्ते प्रिय पाठक.

टिप 1: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें

आइए तीन और नए फ़ंक्शन लिखें।

LinesCross() फ़ंक्शन यह निर्धारित करेगा कि क्या इंटरसेक्टचाहे दो खंड. इसमें वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके खंडों की सापेक्ष स्थिति निर्धारित की जाती है। वेक्टर उत्पादों की गणना करने के लिए, हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे - वेक्टरमल्टी()।

तुलना ऑपरेशन को लागू करने के लिए RealLess() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।<” (строго меньше) для вещественных чисел.

कार्य 1. दो खंड उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं। एक प्रोग्राम लिखें जो निर्धारित करता है क्या ये खंड प्रतिच्छेद करते हैं?प्रतिच्छेदन बिंदु खोजे बिना।

समाधान
. दूसरा बिन्दुओं द्वारा दिया गया है।

खंड और बिंदुओं पर विचार करें और।

बिंदु रेखा के बाईं ओर स्थित है, इसके लिए वेक्टर उत्पाद है > 0, क्योंकि सदिश सकारात्मक रूप से उन्मुख हैं।

बिंदु उस रेखा के दाईं ओर स्थित है जिसके लिए वेक्टर उत्पाद है< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

बिंदुओं के लिए और सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित होने के लिए, यह पर्याप्त है कि शर्त पूरी हो< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

इसी तरह का तर्क खंड और बिंदुओं के लिए भी किया जा सकता है।

तो यदि , फिर खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

इस स्थिति की जांच करने के लिए, LinesCross() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, और वेक्टर उत्पादों की गणना करने के लिए VektorMulti() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।

कुल्हाड़ी, एई - पहले वेक्टर के निर्देशांक,

बीएक्स, द्वारा - दूसरे वेक्टर के निर्देशांक।

प्रोग्राम जियोमेट्री4; (क्या 2 खंड प्रतिच्छेद करते हैं?) स्थिरांक _ईपीएस: वास्तविक=1e-4; (गणना सटीकता) var X1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: वास्तविक; var v1,v2,v3,v4: रियल;फ़ंक्शन रियललेस(कॉन्स्ट ए, बी: रियल): बूलियन; (सख्ती से कम) प्रारंभ RealLess:= b-a> _Eps अंत; (RealLess)फ़ंक्शन वेक्टरमल्टी(ax,ay,bx,by:real): वास्तविक; (ax,ay - a निर्देशांक bx,by - b निर्देशांक) प्रारंभ वेक्टरmulti:= ax*by-bx*ay; अंत;फ़ंक्शन लाइन्सक्रॉस(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): बूलियन; (क्या खंड प्रतिच्छेद करते हैं?) v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); यदि RealLess(v1*v2,0) और RealLess(v3*v4,0) (v1v2)<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

कार्यक्रम निष्पादन परिणाम:

खंडों के निर्देशांक दर्ज करें: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
हाँ।

हमने एक प्रोग्राम लिखा है जो यह निर्धारित करता है कि उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट खंड प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं।

अगले पाठ में हम एक एल्गोरिदम बनाएंगे जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई बिंदु त्रिभुज के अंदर है या नहीं।

प्रिय पाठक.

आप ज्यामितीय एल्गोरिदम श्रृंखला के कई पाठों से पहले ही परिचित हो चुके हैं। क्या सब कुछ सुलभ तरीके से लिखा गया है? यदि आप इन पाठों के बारे में प्रतिक्रिया छोड़ेंगे तो मैं बहुत आभारी रहूँगा। शायद अभी भी कुछ सुधार की जरूरत है.

सादर, वेरा गोस्पोडारेट्स।

दो खंड दिए जाएं. पहला बिन्दुओं द्वारा दिया गया है पी 1 (x 1 ;y 1)और पी 2 (x 2 ;y 2). दूसरा अंक द्वारा दिया गया है पी 3 (x 3 ;y 3)और पी 4 (x 4 ;y 4).

वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके खंडों की सापेक्ष स्थिति की जाँच की जा सकती है:

खंड पर विचार करें पी 3 पी 4और बिंदु पी 1और पी2.

डॉट पी 1पंक्ति के बाईं ओर स्थित है पी 3 पी 4, उसके लिए वेक्टर उत्पाद वी 1 > 0, चूँकि सदिश सकारात्मक रूप से उन्मुख हैं।
डॉट पी2रेखा के दाईं ओर स्थित है, इसके लिए वेक्टर उत्पाद वि 2< 0 , चूँकि सदिश नकारात्मक रूप से उन्मुख हैं।

बात स्पष्ट करने के लिए पी 1और पी2एक सीधी रेखा के विपरीत दिशा में रखें पी 3 पी 4, यह शर्त पूरी करने के लिए पर्याप्त है वि 1 वि 2< 0 (वेक्टर उत्पादों में विपरीत चिह्न थे)।

इसी तरह का तर्क खंड के लिए भी किया जा सकता है पी 1 पी 2और अंक पी 3और पी 4.

तो यदि वि 1 वि 2< 0 और वि 3 वि 4< 0 , फिर खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कहाँ:
कुल्हाड़ी, एय— पहले वेक्टर के निर्देशांक,
बीएक्स, द्वारा— दूसरे वेक्टर के निर्देशांक.

उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण।

मान लीजिए कि एक सीधी रेखा पर दो असंघाती बिंदु दिए गए हैं: पी 1निर्देशांक के साथ ( x 1 ;y 1)और पी2निर्देशांक के साथ (एक्स 2 ; वाई 2).

रेखाओं का प्रतिच्छेदन

तदनुसार, बिंदु पर मूल वाला एक वेक्टर पी 1और एक बिंदु पर समाप्त होता है पी2निर्देशांक हैं (एक्स 2 -एक्स 1 , वाई 2 -वाई 1). अगर पी(एक्स, वाई)एक रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो वेक्टर के निर्देशांक पी 1 पीबराबर (एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1)।

सदिश उत्पाद का उपयोग करते हुए, सदिशों की संरेखता के लिए शर्त पी 1 पीऔर पी 1 पी 2इस प्रकार लिखा जा सकता है:
|पी 1 पी,पी 1 पी 2 |=0, यानी (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
या
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

अंतिम समीकरण इस प्रकार पुनः लिखा गया है:
कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0, (1)
कहाँ
ए = (वाई 2 -वाई 1),
बी = (एक्स 1 -एक्स 2),
सी = एक्स 1 (वाई 1 -वाई 2) + वाई 1 (एक्स 2 -एक्स 1)

तो, सीधी रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?
स्पष्ट समाधान रेखा समीकरणों की प्रणाली को हल करना है:

कुल्हाड़ी 1 +1 से =-सी 1
कुल्हाड़ी 2 +बाई 2 =-सी 2 (2)

प्रतीक दर्ज करें:

यहाँ डीप्रणाली का निर्धारक है, और डीएक्स, उप- संबंधित अज्ञात के साथ गुणांक के कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम के साथ बदलने से उत्पन्न निर्धारक। अगर डी ≠ 0, तो सिस्टम (2) निश्चित है, अर्थात इसका एक अद्वितीय समाधान है। यह समाधान निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है: एक्स 1 =डी एक्स /डी, वाई 1 =डी वाई /डी, जिन्हें क्रैमर सूत्र कहा जाता है। दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है इसका एक त्वरित अनुस्मारक। निर्धारक दो विकर्णों को अलग करता है: मुख्य और द्वितीयक। मुख्य विकर्ण में निर्धारक के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक दिशा में लिए गए तत्व शामिल होते हैं। पार्श्व विकर्ण - ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाकर द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।