संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े। संभवतः संयोजन

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प्रतिलिपि

1 1 कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ 1 परिशिष्ट परिभाषा 1 से n तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को n-फैक्टोरियल कहा जाता है और लिखित उदाहरण गणना 4! 3! एन! 1 3 एन 4!-3!= ! 5! उदाहरण गणना! 7! 5! 5!! इन अक्षरों के तीन अक्षर दिये जायें: 7 1! क्रमपरिवर्तन 5 3 ए, बी, सी आइए एबीसी / एसीबी / बीसीए / सीएबी / सीबीए / बीएसी (कुल संयोजन) के सभी संभावित संयोजन बनाएं हम देखते हैं कि वे केवल अक्षरों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न हैं एन तत्वों के परिभाषा संयोजन जो केवल तत्वों के क्रम से एक दूसरे से भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं जिन्हें प्रतीक n द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ n प्रत्येक क्रमपरिवर्तन 3 3 में शामिल तत्वों की संख्या है! क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना सूत्र n का उपयोग करके या फैक्टोरियल का उपयोग करके की जा सकती है: n n 1 n 3 1 n n! तो, सूत्र के अनुसार तीन तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या है, जो ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के परिणाम से मेल खाती है 5 0 उदाहरण गणना,! ! !-5! 5! -1 5! 5! 1 5 0! ! 1! उदाहरण अंक 1, 3, 4, 5 से कितनी अलग-अलग पाँच अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्या में एक भी अंक दोहराया न जाए?

2 5! उदाहरण प्रतियोगिता में चार टीमों ने भाग लिया, उनके बीच स्थान बांटने के कितने विकल्प संभव हैं? 4! प्लेसमेंट मान लीजिए कि चार अक्षर A, B, C, D हैं, सभी संयोजनों को केवल दो अक्षरों से बनाएं, हमें मिलता है: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC हम देखते हैं कि सभी परिणामी संयोजन या तो अक्षरों में या उनके क्रम में भिन्न होते हैं (संयोजन बीए और एबी को अलग माना जाता है) परिभाषा एन तत्वों के एम तत्वों के संयोजन जो एक दूसरे से या तो स्वयं तत्वों में या तत्वों के क्रम में भिन्न होते हैं, प्लेसमेंट कहलाते हैं। प्लेसमेंट को प्रत्येक संयोजन में तत्वों की संख्या एन ए एम एन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जहां एम सभी उपलब्ध तत्वों की संख्या है, ए एन एम एम! (एमएन)! उदाहरण यदि 7 टीमें ड्रा में भाग लेती हैं तो तीन पुरस्कार वितरित करने के लिए कितने विकल्प हैं? 3 7! 7! ए! 4! 10 उदाहरण अंक 0, 1, 8, 9 से कितनी भिन्न चार अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? 4 10! 10! ए!! उदाहरण यदि कुल 8 हों तो एक दिन के लिए कितने शेड्यूल विकल्प बनाए जा सकते हैं? शैक्षणिक विषय, और उनमें से केवल तीन को ही दैनिक कार्यक्रम में शामिल किया जा सकता है? 3 8! 8! ए! 5! उदाहरण पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के सेनेटोरियम में तीन वाउचर वितरित करने के कितने विकल्प संकलित किए जा सकते हैं? 3 5! 5! ए!!

3 संयोजन परिभाषा संयोजन n द्वारा m तत्वों के सभी संभावित संयोजन हैं, जो कम से कम एक तत्व द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं (यहां m और n प्राकृतिक संख्या, और एन

4 एक यादृच्छिक घटना को उसकी घटनाओं की संख्या और परीक्षणों की संख्या के अनुपात से पहचाना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में, सभी परीक्षणों की समान शर्तों के तहत, यह घटित हो सकता है या नहीं हो सकता है। संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है किन यादृच्छिक घटनाओं (घटनाओं) का अध्ययन किया जाता है और उनके सामूहिक पुनरावृत्ति के दौरान पैटर्न की पहचान की जाती है, इन पैटर्न को रिकॉर्ड करने और तलाशने के लिए, हम कुछ बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं को पेश करेंगे। परिभाषा: कोई भी क्रिया, घटना, कई अलग-अलग परिणामों के साथ अवलोकन स्थितियों के किसी दिए गए समूह को परीक्षण कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, किसी सिक्के को बार-बार उछालना, किसी भाग के निर्माण की प्रक्रिया को परीक्षण कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, किसी भाग के निर्माण के परिणाम को यादृच्छिक घटना कहा जाएगा सिक्का उछालते समय किसी संख्या का होना एक यादृच्छिक घटना है, क्योंकि यह घटित हो भी सकती है और नहीं भी। परिभाषा यदि हम सभी संभावित घटनाओं में से किसी विशिष्ट घटना में रुचि रखते हैं, तो हम इसे वांछित घटना (या वांछित परिणाम) कहेंगे। विचाराधीन सभी घटनाओं को समान रूप से संभव माना जाएगा, जिनके घटित होने की समान संभावना है, इसलिए पासा फेंकने पर 1 अंक, 3, 4, 5 या अंक दिखाई दे सकते हैं और ये परीक्षण परिणाम समान रूप से संभव हैं , समान अवसर का अर्थ है समानता, व्यक्तिगत परीक्षण परिणामों की समरूपता, कुछ शर्तों के अधीन, घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ए, बी, सी, डी परिभाषा घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि उनमें से कोई भी दो एक साथ घटित नहीं हो सकते हैं। एक दिया गया प्रयोग। अन्यथा, घटनाओं को संगत कहा जाता है, इसलिए, सिक्के उछालते समय, संख्या की उपस्थिति हथियारों के कोट की एक साथ उपस्थिति को बाहर कर देती है; यह असंगत घटनाओं का एक उदाहरण है 4

5 आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, लक्ष्य पर एक वृत्त, एक समचतुर्भुज और एक त्रिभुज बनाया जाता है। एक गोली चलाई जाती है, घटना A वृत्त से टकराती है, घटना B समचतुर्भुज से टकराती है, घटना C त्रिभुज से टकराती है और सी, सी और बी असंगत हैं परिभाषा घटना को विश्वसनीय कहा जाता है यदि यह किसी दिए गए परीक्षण में आवश्यक रूप से घटित होता है उदाहरण के लिए, जीत-जीत लॉटरी टिकट जीतना एक विश्वसनीय घटना है विश्वसनीय घटनाओं को अक्षर यू द्वारा दर्शाया जाता है परिभाषा एक घटना को असंभव कहा जाता है यदि यह किसी दिए गए प्रयोग में नहीं हो सकता है उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय 7 अंक प्राप्त करना असंभव है असंभव घटना को अक्षर V द्वारा दर्शाया जाता है परिभाषा घटनाओं की एक पूरी प्रणाली A 1, A, A 3, A n असंगत घटनाओं का एक सेट है , जिनमें से कम से कम एक का घटित होना किसी दिए गए परीक्षण के दौरान अनिवार्य है, इस प्रकार, गेम पासा फेंकते समय एक, दो, तीन, चार, पांच, छह अंकों का नुकसान घटनाओं की एक पूरी प्रणाली है, क्योंकि ये सभी घटनाएं हैं। असंगत और उनमें से कम से कम एक की घटना अनिवार्य है परिभाषा यदि एक पूर्ण प्रणाली में दो घटनाएं होती हैं, तो ऐसी घटनाओं को विपरीत कहा जाता है और ए और ए नामित किया जाता है उदाहरण एक लॉटरी टिकट है "45 में से बी" घटना ए वह है वह एक विजेता है, और घटना बी यह है कि वह एक गैर-विजेता है क्या ये घटनाएँ असंगत हैं? उदाहरण एक बॉक्स में 30 क्रमांकित गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव, विश्वसनीय, विपरीत है: एक क्रमांकित गेंद निकाली गई (; एक गेंद एक सम संख्या वाली निकाली गई (एक गेंद एक विषम संख्या वाली निकाली गई)। (सी); एक गेंद बिना किसी संख्या के निकाली गई (डी) उनमें से कौन सा एक पूर्ण समूह बनाता है? उदाहरण क्या यह निश्चित या असंभव है कि पासे के एक ही रोल का परिणाम होगा: 5 अंक;

6 परिभाषा कई घटनाओं का योग एक ऐसी घटना है जिसमें एक परीक्षण के परिणामस्वरूप उनमें से कम से कम एक की घटना शामिल होती है घटनाओं ए और बी का योग (ए+) द्वारा दर्शाया जाता है और इसका मतलब है कि घटना ए, या बी, या ए और बी एक साथ घटित हुए परिभाषा कई घटनाओं का उत्पाद एक घटना है, जिसमें परीक्षण के परिणामस्वरूप इन सभी घटनाओं की संयुक्त घटना शामिल है घटनाओं ए और बी का उत्पाद दर्शाता है: एबी 3 एक घटना की संभावना का निर्धारण यादृच्छिक घटनाएं हैं विभिन्न संभावनाओं के साथ एहसास हुआ, कुछ अधिक बार घटित होते हैं, अन्य कम बार किसी घटना के कार्यान्वयन की संभावनाओं को मापने के लिए, घटना संभावना की अवधारणा पेश की जाती है परिभाषा घटना ए की संभावना कुल संख्या के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या एम का अनुपात है समान रूप से संभावित परिणामों का एन, एक पूर्ण समूह बनाता है: एक विश्वसनीय घटना की संभावना 1 है, असंभव 0, यादृच्छिक: 0 (1 यह किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति की संभावना की शास्त्रीय परिभाषा है ए में परीक्षणों की संख्या एम का अनुपात जो घटना कुल संख्या n परीक्षणों में घटित हुई: M N * (उदाहरण "क्लिनिक" शब्द से यादृच्छिक रूप से एक अक्षर चुना गया है) इसकी क्या संभावना है कि यह एक स्वर है? K अक्षर क्या है? क्या यह स्वर है या अक्षर K? कुल अक्षर 11 घटना ए प्रयोग के परिणामस्वरूप एक स्वर अक्षर दिखाई दिया घटना बी में अक्षर के दिखाई दिया घटना ए पांच घटनाओं (5 स्वर) द्वारा समर्थित है, घटना बी दो एम 5 मीटर (, एन 11 एन 11 एम एन 4 मूल प्रमेय और संभाव्यता सिद्धांत के सूत्र संभाव्यता के योग का प्रमेय असंगत घटनाओं में से एक की घटना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है:

7 ए ए ए ए 1 एन 1 ए एन दो संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना ए ए विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग (1 परिभाषा मान लीजिए कि ए और बी एक ही परीक्षण की दो यादृच्छिक घटनाएं हैं। घटना ए की सशर्त संभावना या घटना ए ए की संभावना बशर्ते कि घटना बी घटित होती है वह संख्या है पदनाम: ए बी ए संभाव्यता गुणन प्रमेय दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है ए 7

गणित (बीकेपीएल-100) म.प्र. खारलामोव 2011/2012 शैक्षणिक वर्ष, प्रथम सेमेस्टर व्याख्यान 5. विषय: कॉम्बिनेटरिक्स, संभाव्यता सिद्धांत का परिचय 1 विषय: कॉम्बिनेटरिक्स कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो अध्ययन करती है

गणित और कंप्यूटर विज्ञान विभाग दूरस्थ प्रौद्योगिकियों का उपयोग करके अध्ययन करने वाले माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा के छात्रों के लिए गणित शैक्षिक और पद्धतिगत परिसर मॉड्यूल 6 संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के तत्व

विषय। संभावनाओं के योग और गुणन के सिद्धांत, यादृच्छिक घटनाओं पर संचालन। घटनाओं का बीजगणित. घटनाओं की अनुकूलता की अवधारणा. घटनाओं का पूरा समूह. यादृच्छिक घटनाओं की निर्भरता और स्वतंत्रता। सशर्त

व्याख्यान संभाव्यता सिद्धांत बुनियादी अवधारणाएँ प्रयोग आवृत्ति संभाव्यता संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है, जब

पाठ 3 संभाव्यता सिद्धांत पद्धति संबंधी अनुशंसाओं का परिचय मिस 2013 मैंने स्वीकृत किया: डी.ई. कपुतकिन शहरों के शिक्षा विभाग के साथ समझौते के कार्यान्वयन के लिए शैक्षिक और पद्धति आयोग के अध्यक्ष।

1 भाग I. संभाव्यता सिद्धांत अध्याय 1. 1. कॉम्बिनेटरिक्स परिभाषा के तत्व 1. उदाहरण: परिभाषा। -फैक्टोरियल एक संख्या है जिसे !, और द्वारा दर्शाया जाता है! = 1** *सभी प्राकृत संख्याओं के लिए 1, ; अलावा,

1) ऐसी कितनी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनके केवल दो अंक पाँच से कम हैं? 5 से कम केवल पाँच अंक हैं: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) शेष पाँच अंक कम से कम 5 हैं: ( ; ; ; ; ) पहली समाधान विधि

व्याख्यान 3 विषय संभाव्यता सिद्धांत के मूल प्रमेय और सूत्र विषय सामग्री घटनाओं का बीजगणित। संभाव्यता जोड़ प्रमेय. सशर्त संभाव्यता. संभाव्यता गुणन प्रमेय. कुल संभाव्यता सूत्र.

व्याख्यान विषय: घटनाओं का बीजगणित संभाव्यता के बारे में बुनियादी प्रमेय घटनाओं का बीजगणित घटनाओं का योग घटना S = + है, जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना शामिल है घटनाओं के उत्पाद को कहा जाता है

उच्च गणित विभाग संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी अनुभाग पर व्याख्यान। संभाव्यता सिद्धांत संभाव्यता सिद्धांत का विषय द्रव्यमान सजातीय में विशिष्ट पैटर्न का अध्ययन है

सामग्री विषय III. संभाव्यता सिद्धांत का परिचय... 2 1. संदर्भ... 2 1.1. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ... 2 1.2. यादृच्छिक घटनाओं पर कार्रवाई...4 1.3. शास्त्रीय परिभाषा

व्याख्यान 2. संभावनाओं के योग और गुणन के प्रमेय किसी घटना का योग और उत्पाद कई घटनाओं का योग या मिलन एक घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक की घटना शामिल होती है

उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान "चेल्याबिंस्क राज्य संस्कृति और कला अकादमी" सूचना विज्ञान विभाग संभाव्यता सिद्धांत

एक यादृच्छिक घटना की संभाव्यता कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध कथन 1933 में, ए.एन. कोलमोगोरोव ने अपनी पुस्तक "बेसिक कॉन्सेप्ट्स ऑफ प्रोबेबिलिटी थ्योरी" में संभाव्यता के सिद्धांत के लिए एक स्वयंसिद्ध औचित्य दिया। "इसका मतलब यह है कि बाद में

उत्तरी जिला शिक्षा विभाग कार्य कार्यक्रम संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी वर्ग प्रयुक्त शिक्षण सामग्री: पाठ्यपुस्तक: ट्यूरिन यू.एन. और अन्य। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी। एम., एमटीएसएनएमओ: जेएससी

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी उच्च व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षणिक संस्थान "नेशनल रिसर्च टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी" सिद्धांत पर व्याख्यान

संयुक्त संभाव्यता विषय 5 अनुवाद आईटी अकादमी व्याख्यान सामग्री 1 परिचय 2 3 4 अगला पैराग्राफ 1 परिचय 2 3 4 समस्या... समस्या... समस्या... ... और समाधान: लड़की

किसी घटना की संभाव्यता का निर्धारण करने वाला व्याख्यान किसी घटना की संभाव्यता संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को संदर्भित करती है और किसी घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप को व्यक्त करती है। यह व्यावहारिक गतिविधियों के लिए महत्वपूर्ण है

I संभाव्यता की परिभाषा और इसकी गणना के लिए बुनियादी नियम संभाव्यता प्रयोग संभाव्यता सिद्धांत का विषय प्रयोग के परिणाम एक डिग्री या किसी अन्य स्थितियों के सेट पर निर्भर करते हैं जिसके तहत

चुडेसेंको की समस्या पुस्तक, संभाव्यता सिद्धांत, विकल्प दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता निर्धारित करें कि: अंकों की संख्या का योग N से अधिक न हो; b अंकों की संख्या का गुणनफल N से अधिक नहीं है; वी

संकलित: चिकित्सा और जैविक भौतिकी विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर रोमानोवा एन.यू. संभाव्यता सिद्धांत 1 व्याख्यान परिचय। संभाव्यता सिद्धांत एक गणितीय विज्ञान है जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करता है।

एमवीदुबातोव्स्काया संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े व्याख्यान 3 संभाव्यता निर्धारित करने के तरीके 0 संभाव्यता का शास्त्रीय निर्धारण हम किसी प्रयोग के संभावित परिणामों में से किसी को प्राथमिक कहेंगे

व्याख्यान 3 विषय संभाव्यता सिद्धांत के मूल प्रमेय और सूत्र विषय सामग्री घटनाओं का बीजगणित। संभाव्यता जोड़ प्रमेय. सशर्त संभाव्यता. संभाव्यता गुणन प्रमेय. बीजगणित की मूल श्रेणियाँ

व्याख्यान 1. विषय: संभाव्यता निर्धारित करने के लिए बुनियादी दृष्टिकोण संभाव्यता सिद्धांत का विषय। ऐतिहासिक पृष्ठभूमि संभाव्यता सिद्धांत का विषय उन पैटर्न का अध्ययन है जो बड़े पैमाने पर, सजातीय के तहत उत्पन्न होते हैं

म.प्र. खारलामोव http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp सार संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े पहले खंड का संक्षिप्त सार (प्रश्न और उत्तर) भौतिकी और गणित के डॉक्टर। विज्ञान के प्रोफेसर मिखाइल पावलोविच खारलामोव

संभाव्यता सिद्धांत व्याख्यान योजना पी एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के बारे में पी संभाव्यता सिद्धांत की मूल परिभाषाएँ पी एक यादृच्छिक घटना की आवृत्ति संभाव्यता का निर्धारण पी 4 गिनती के लिए कॉम्बिनेटरिक्स का अनुप्रयोग

संभाव्यता सिद्धांत के तत्व यादृच्छिक घटनाएँ नियतात्मक प्रक्रियाएँ विज्ञान और प्रौद्योगिकी में, ऐसी प्रक्रियाओं पर विचार किया जाता है जिनके परिणाम की भविष्यवाणी विश्वास के साथ की जा सकती है: यदि कंडक्टर के सिरों पर एक अंतर लागू किया जाता है

टॉपिक 1 कॉम्बिनेटरिक्स संभावनाओं की गणना समस्या 1बी 17 टीमें राष्ट्रीय फुटबॉल कप में भाग लेती हैं, स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक वितरित करने के कितने तरीके हैं? तब से

(σ-बीजगणित - यादृच्छिक घटनाओं का क्षेत्र - कोलमोगोरोव के सिद्धांतों का पहला समूह - कोलमोगोरोव के सिद्धांतों का दूसरा समूह - संभाव्यता सिद्धांत के मूल सूत्र - संभाव्यता जोड़ प्रमेय - सशर्त संभाव्यता

संभाव्यता सिद्धांत की मूल बातें व्याख्यान 2 सामग्री 1. सशर्त संभाव्यता 2. घटनाओं के उत्पाद की संभावना 3. घटनाओं के योग की संभावना 4. कुल संभाव्यता का सूत्र आश्रित और स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा

एन. जी. ताकतरोव संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी: उदाहरणों और समाधानों के साथ एक लघु पाठ्यक्रम पाठ को सही किया गया है और सार को पूरक किया गया है पुस्तक एक पाठ्यपुस्तक है जिसमें यह संक्षेप में सरल और सुलभ है

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान "सेराटोव राज्य सामाजिक-आर्थिक विश्वविद्यालय"

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में समस्याएं। यादृच्छिक घटनाएँ कार्य। एन उत्पादों के एक बैच में, उत्पादों में एक छिपा हुआ दोष होता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि k में से उत्पाद यादृच्छिक रूप से लिए गए हैं

संभाव्यता सिद्धांत. कार्य। विषय-सूची (विषय के अनुसार) 1. संभाव्यता के शास्त्रीय निर्धारण के लिए सूत्र। कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। ज्यामितीय संभाव्यता 4. घटनाओं पर संचालन। जोड़ और गुणन प्रमेय

संयोजक सूत्र मान लीजिए कि n तत्वों से युक्त एक समुच्चय है। आइए इसे U n से निरूपित करें। n तत्वों का क्रमपरिवर्तन समुच्चय U n में एक दिया गया क्रम है। क्रमपरिवर्तन के उदाहरण: 1) वितरण

अध्याय 5 संभाव्यता सिद्धांत के तत्व 5 संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत विभिन्न घटनाओं को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:) असंभव घटना, ऐसी घटना जो घटित नहीं हो सकती) निश्चित घटना

अभ्यास कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र, घटनाओं के प्रकार, घटनाओं पर कार्रवाई, शास्त्रीय संभाव्यता, ज्यामितीय संभाव्यता, कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र, कॉम्बिनेटरिक्स संयोजनों की संख्या का अध्ययन करता है,

कुल संभाव्यता सूत्र. मान लीजिए कि घटनाओं का एक समूह H 1, H 2,..., H n है, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं: 1) सभी घटनाएँ जोड़ीवार असंगत हैं: H i H j =; मैं, जे=1,2,...,एन; ij 2) उनका संघ बनता है

रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय इवानोव्स्क राज्य ऊर्जा विश्वविद्यालय उच्च गणित विभाग संभाव्यता सिद्धांत पर पद्धतिगत निर्देश द्वारा संकलित:

रूसी संघ के संस्कृति मंत्रालय संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक उच्च व्यावसायिक शिक्षा संस्थान "सेंट पीटर्सबर्ग स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ सिनेमा और

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े भौतिकी और गणित के डॉक्टर। विज्ञान के प्रोफेसर मिखाइल पावलोविच खारलामोव "पेज" शिक्षण सामग्री के साथ http://inter.vags.ru/hmp RANEPA (FGOU) की वोल्गोग्राड शाखा

वोरोबिएव वी.वी. संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में समस्याओं को हल करने पर कलाचिंस्क, ओम्स्क क्षेत्र की कार्यशाला "लिसेयुम" संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में विषयों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े भौतिकी और गणित के डॉक्टर। विज्ञान के प्रोफेसर मिखाइल पावलोविच खारलामोव "पेज" शिक्षण सामग्री के साथ http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp RANEPA की वोल्गोग्राड शाखा

संभाव्यता सिद्धांत. यादृच्छिक चर असाइनमेंट का वितरण। सही उत्तर का चयन करें:। एक यादृच्छिक घटना ए की सापेक्ष आवृत्ति एक मान के बराबर है... ए) अनुकूल मामलों की संख्या का अनुपात

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ। 3.1. यादृच्छिक घटनाएँ. प्रत्येक विज्ञान, भौतिक संसार की घटनाओं का अध्ययन करते समय, कुछ अवधारणाओं के साथ काम करता है, जिनमें से आवश्यक रूप से मौलिक होते हैं;

उच्च व्यावसायिक शिक्षा स्नातक की डिग्री वी.एस. मख़ितारियन, वी.एफ. शिशोव, ए. यू. कोज़लोव संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी पाठ्यपुस्तक शिक्षा के लिए शैक्षिक और पद्धति संबंधी एसोसिएशन द्वारा अनुशंसित

विषय-वस्तु अनुभाग I. संभाव्यता सिद्धांत प्रस्तावना................................................... ........ ......... 6 भाग I. यादृच्छिक घटनाएँ................................... ........ 7 अध्याय 1. तत्व संयोजनात्मक विश्लेषण...................

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े भौतिकी और गणित के डॉक्टर। विज्ञान के प्रोफेसर मिखाइल पावलोविच खारलामोव शिक्षण सामग्री के साथ इंटरनेट संसाधन http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp वोल्गोग्राड शाखा

एस के संदर्भ में, सिस्टम बंद नहीं होने की घटना को लिखा जा सकता है: एस = ए 1 ए 2 +बी = (ए 1 + ए 2)+बी। 2.18. समस्या 2.5, 2.6 को हल करने के समान, हम S = A(B 1 +B 2) C D प्राप्त करते हैं; एस = ए + बी 1 बी 2 + सी

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान उच्च व्यावसायिक शिक्षा "कज़ान राष्ट्रीय अनुसंधान तकनीकी"

संभाव्यता सिद्धांत कॉम्बिनेटरिक्स, उत्पाद और योग नियम कॉम्बिनेटरिक्स एक विज्ञान के रूप में कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो परिमित से निकाले गए तत्वों के सबसेट के संयोजन का अध्ययन करती है।

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी टॉम्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ कंट्रोल सिस्टम्स एंड रेडियोइलेक्ट्रॉनिक्स एन. ई. लुगिना प्रैक्टिकम ऑन प्रोबेबिलिटी थ्योरी पाठ्यपुस्तक टॉम्स्क 2006 समीक्षक: पीएच.डी.

व्याख्यान यादृच्छिक घटनाएँ परिभाषा। एक प्रारंभिक परिणाम (या एक प्रारंभिक घटना) किसी अनुभव का कोई भी सबसे सरल (यानी, किसी दिए गए अनुभव के भीतर अविभाज्य) परिणाम है। सभी प्रारंभिक परिणामों का सेट

संघीय शिक्षा एजेंसी उच्च व्यावसायिक शिक्षा का राज्य शैक्षणिक संस्थान, उल्यानोवस्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय एस.जी. वलेव एस.वी. कुर्किना टेस्ट

4. संभाव्यता सिद्धांत इस विषय पर परीक्षण में चार कार्य शामिल हैं। आइए हम संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को उनके कार्यान्वयन के लिए आवश्यक प्रस्तुत करें। 50 50 समस्याओं को हल करने के लिए आपको विषय का ज्ञान होना आवश्यक है

अनुभाग "संभावना और सांख्यिकी" ई.एम. उडालोवा। प्रिमोर्स्की जिला, स्कूल 579 संभाव्यता सिद्धांत एक गणितीय विज्ञान है जो किसी को कुछ यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं से अन्य यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है।

समस्या 1. एक कलश में 40 गेंदें हैं। निकाली गई 2 गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता 7 60 है। कलश में कितनी सफेद गेंदें हैं? n से k आइटमों को चुनने के तरीकों की संख्या C k है

4 रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षणिक संस्थान "खाबरोवस्क राज्य अर्थशास्त्र और कानून अकादमी" विभाग

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शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी उच्च व्यावसायिक शिक्षा का राज्य शैक्षणिक संस्थान "टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी" एल. आई. कॉन्स्टेंटिनोवा संभाव्यता सिद्धांत और गणित

रेलवे परिवहन के लिए संघीय एजेंसी, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षणिक संस्थान "साइबेरियन स्टेट यूनिवर्सिटी" की शाखा

मैट्रिक्स के निर्धारक की परिभाषा एक वर्ग मैट्रिक्स में एक तत्व A = (a) होता है। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक A = det(a) = a के बराबर है। () ए ए ए वर्ग मैट्रिक्स 2 2 में चार तत्व ए = शामिल हैं

व्यक्तिगत कार्यों के एसजीयूपीएस संग्रह की रेलवे परिवहन शाखा की टॉम्स्क तकनीक “कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत" अनुशासन संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

रूसी शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान "उख्ता राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय" (यूएसटीयू) अनुशासन पर कार्यशाला

एमवीदुबातोव्स्काया संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े व्याख्यान 4 संभावनाओं के जोड़ और गुणन के प्रमेय कुल संभाव्यता का सूत्र बेयस सूत्र लेट और बी असंगत घटनाएँ और संभावनाएँ हैं

कार्य: 1. घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग करके, संख्या 10 और 15 के बीच किरण पर स्थित प्राकृतिक संख्याओं के सेट को लिखें। इनमें से कौन सी संख्या 0 है; 10; 11; 12; 15; क्या 50 इस सेट से संबंधित है? 2. सेट लिखो

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व्याख्यान 5 विषय बर्नौली योजना। विषय सामग्री बर्नौली योजना। बर्नौली का सूत्र. बर्नौली की योजना में सफलताओं की सबसे अधिक संभावना है। द्विपद यादृच्छिक चर. न्यूटन के द्विपद की मूल श्रेणियाँ, आरेख

समस्या 12. गणित क्लब में भाग लेने वाले छात्रों में से, जिनमें 5 लड़कियाँ और 3 लड़के हैं, दो को ओलंपियाड में भेजने की आवश्यकता है: एक लड़की और एक लड़का। ऐसे कितने अलग-अलग जोड़े हैं जिन्हें ओलंपिक में भेजा जा सकता है?

समाधान: सर्कल से एक लड़की को पांच तरीकों से चुना जा सकता है, और एक लड़के को तीन तरीकों से। एक जोड़े (लड़के के साथ लड़की) को पंद्रह अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है

5 3 = 15 तरीके.

उत्तर: 15 तरीके.

समस्या 13. प्रतियोगिता में 12 टीमें भाग लेती हैं। पुरस्कार (1, 2, 3) स्थानों के वितरण के लिए कितने विकल्प हैं?

समाधान: ए 12 3 = 12 11 10 = पुरस्कार स्थानों के वितरण के लिए 1320 विकल्प।

उत्तर: 1320 विकल्प।

समस्या 14. एथलेटिक्स प्रतियोगिता में, हमारे स्कूल का प्रतिनिधित्व 10 एथलीटों की एक टीम ने किया था। एक कोच कितने तरीकों से यह निर्धारित कर सकता है कि उनमें से कौन पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे चरण में 4100 मीटर रिले में दौड़ेगा?

समाधान: क्रम को ध्यान में रखते हुए 10 से 4 तक विकल्प: विधियाँ।

उत्तर: 5040 तरीके.

समस्या 15. लाल, काली, नीली और हरी गेंदों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से रखा जा सकता है?

समाधान: आप चार गेंदों में से किसी को पहले स्थान पर (4 तरीके से), शेष तीन गेंदों में से किसी को दूसरे स्थान पर (3 तरीके से), शेष दो गेंदों में से किसी को तीसरे स्थान पर (2 तरीके से), और आखिरी में रख सकते हैं। शेष गेंद चौथे स्थान पर. कुल 4 · 3 · 2 · 1 = 24 तरीके।

आर 4 =4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

उत्तर: 24 तरीके.

समस्या 16 . छात्रों को छुट्टियों के दौरान पढ़ने के लिए 10 पुस्तकों की एक सूची दी गई थी। एक छात्र कितने तरीकों से उनमें से 6 किताबें चुन सकता है?

समाधान: क्रम: विधियों को ध्यान में रखे बिना 10 में से 6 का चयन करना।

उत्तर: 210 तरीके.

समस्या 17 . वोलोडा अपने सहपाठियों, जुड़वाँ यूलिया और इरा की जन्मदिन पार्टी में जाता है। वह उनमें से प्रत्येक को एक गेंद देना चाहता है। दुकान में बिक्री के लिए अलग-अलग रंगों की केवल 3 गेंदें बची हैं: सफेद, काली और धारीदार। 2 गेंदें खरीदकर वोलोडा अपनी बहनों को कितने तरीकों से उपहार दे सकता है?

समाधान: समस्या की शर्तों के अनुसार, दो अनुक्रमिक विकल्प प्रदान किए जाते हैं: सबसे पहले, वोलोडा स्टोर में उपलब्ध तीन में से 2 गेंदों को चुनता है, और फिर यह तय करता है कि खरीदी गई गेंदों में से प्रत्येक को जुड़वाँ भाइयों में से किसे देना है। तीन गेंदों में से दो को तीन तरीकों से चुना जा सकता है। उसके बाद, प्रत्येक चयनित जोड़ी को दो तरीकों (तरीकों) से उपहार दिया जा सकता है (क्रम महत्वपूर्ण है)। फिर, गुणन नियम के अनुसार, आवश्यक तरीकों की संख्या तरीकों के बराबर होती है।

उत्तर: 6 तरीके.

समस्या 18 . 9वीं कक्षा में 7 छात्र, 10वीं कक्षा में 9 छात्र और 11वीं कक्षा में 8 छात्र हैं। स्कूल साइट पर काम करने के लिए, ग्रेड 9 से दो छात्रों का चयन किया जाना चाहिए, ग्रेड 10 से तीन, और ग्रेड 11 से एक। स्कूल साइट पर काम करने के लिए छात्रों का चयन करने के कितने तरीके हैं?

समाधान: क्रम को ध्यान में रखे बिना तीन सेटों में से विकल्प, पहले सेट (सी 7 2) के प्रत्येक विकल्प को दूसरे (सी 9 3) के प्रत्येक विकल्प के साथ और तीसरे (सी 8 1) के प्रत्येक विकल्प के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणन नियम का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

एस 7 2 · एस 9 3 · एस 8 1 =------ · -------- · ---- = छात्रों के लिए चुनने के लिए 14,112 तरीके।

उत्तर: 14,112 तरीके।

समस्या 19. नौवीं कक्षा के झेन्या, शेरोज़ा, कोल्या, नताशा और ओलेया अवकाश के दौरान टेनिस टेबल की ओर दौड़े, जहाँ पहले से ही खेल चल रहा था। नौवीं कक्षा के पांच छात्र टेबल तक दौड़कर टेबल टेनिस खेलने के लिए कितने तरीकों से बारी ले सकते हैं?

समाधान: कोई भी नौवीं कक्षा का विद्यार्थी पंक्ति में सबसे पहले खड़ा हो सकता है, दूसरा - शेष तीन में से कोई भी, तीसरा - शेष दो में से कोई भी, और चौथा - नौवीं कक्षा का वह विद्यार्थी जो अंतिम के बगल में दौड़कर खड़ा हो सकता है, और पाँचवाँ-अंतिम। गुणन नियम के अनुसार, पाँच विद्यार्थियों के पास है

5·4321=120 लाइन में लगने के तरीके।

उत्तर: 120 तरीके.

आत्म-नियंत्रण के लिए व्यावहारिक कार्य
साहचर्य
अंक 1, 3, 5, 7, 9 से कितनी अलग-अलग पाँच अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्या में एक भी अंक दोहराया न जाए?

यदि 7 टीमें ड्रा में भाग लेती हैं तो तीन पुरस्कार वितरित करने के लिए कितने विकल्प हैं?

यदि समूह में 33 लोग हैं तो सम्मेलन के लिए दो छात्रों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

समीकरण हल करें
ए) 13 एंबेड समीकरण.3 1415. बी) 13 एंबेड समीकरण.3 1415.
अंक 0, 1, 2, 5, 7 से 5 से विभाज्य कितनी चार अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि प्रत्येक संख्या में समान अंक न हों?

15 लोगों के समूह में से एक फोरमैन और 4 टीम सदस्यों का चयन किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

मोर्स कोड अक्षर प्रतीकों (बिंदु और डैश) से बने होते हैं। यदि आप चाहते हैं कि प्रत्येक अक्षर में पाँच से अधिक अक्षर न हों तो कितने अक्षर निकाले जा सकते हैं?

विभिन्न रंगों के सात रिबन से चार रंग के रिबन कितने तरीकों से बनाए जा सकते हैं?

चार अलग-अलग पदों के लिए नौ उम्मीदवारों में से चार व्यक्तियों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

आप कितने तरीकों से 6 में से 3 पोस्टकार्ड चुन सकते हैं?

स्नातक स्तर की पढ़ाई से पहले, 30 छात्रों के एक समूह ने तस्वीरों का आदान-प्रदान किया। कितने फोटो कार्ड वितरित किये गये?

उत्सव की मेज पर 10 मेहमानों को दस स्थानों पर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

एक दौर की चैम्पियनशिप में 20 फुटबॉल टीमों को कितने खेल खेलने चाहिए?

यदि प्रत्येक टीम में 6 लोग हैं तो 12 लोगों को टीमों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

संभाव्यता सिद्धांत
कलश में 7 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। कलश से एक ही समय में दो गेंदें निकाली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें लाल हैं (घटना A)?

एक शेल्फ पर नौ अलग-अलग किताबें यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित की गई हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार विशिष्ट पुस्तकें एक-दूसरे के बगल में रखी जाएंगी (घटना C)।

10 टिकटों में से 2 जीत रहे हैं, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए 5 टिकटों में से एक जीत रहा है।

ताश के पत्तों (52 पत्तों) की एक गड्डी से 3 पत्ते यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह एक तीन, एक सात, एक इक्का है।

एक बच्चा विभाजित वर्णमाला के पांच अक्षरों ए, के, आर, श, य के साथ खेलता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि अक्षरों को यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाए, तो उसे "छत" शब्द मिलेगा।

बॉक्स में 6 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं। दो गेंदें यादृच्छिक रूप से ली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वे एक ही रंग के होंगे?

पहले कलश में 6 काली और 4 सफेद गेंदें हैं, दूसरे कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें सफेद हैं?

यादृच्छिक चर, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर का विचरण
यदि एक शॉट से हिट की संभावना 0.4 है, तो छह शॉट वाले लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

यह संभावना कि एक छात्र को पुस्तकालय में उसकी ज़रूरत की किताब मिल जाएगी, 0.3 है। यदि शहर में चार पुस्तकालय हैं तो वह कितने पुस्तकालयों का दौरा करेगा, इसके लिए एक वितरण कानून बनाएं।

शिकारी खेल में पहली हिट तक गोली चलाता है, लेकिन चार से अधिक गोली नहीं चला पाता है। यदि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 है तो चूक की संख्या में अंतर ज्ञात कीजिए।

एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें यदि इसके वितरण का नियम तालिका द्वारा दिया गया है:

एक्स
1
2
3
4

आर
0,3
0,1
0,2
0,4

संयंत्र चार स्वचालित लाइनें संचालित करता है। संभावना है कि कार्य शिफ्ट के दौरान पहली पंक्ति को समायोजन की आवश्यकता नहीं होगी 0.9, दूसरी - 0.8, तीसरी - 0.75, चौथी - 0.7 है। उन पंक्तियों की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें जिन्हें कार्य शिफ्ट के दौरान समायोजन की आवश्यकता नहीं होगी।
इसके वितरण के नियम को जानते हुए यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए:

एक्स
0
1
2
3
4

आर
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

वी. उत्तर

साहचर्य
1. 13 एंबेड समीकरण.3 1415. 2. 13 एंबेड समीकरण.3 1415. 3. 13 एंबेड समीकरण.3 1415. 4. ए) 13 एंबेड समीकरण.3 1415, 5; बी) 13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 5. 13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 6.13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 7. 13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 8. 13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 9.13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 10.13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 11. 13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 12. 13 एम्बेड समीकरण.3 1415. 13. 190. 14. 924.

संभाव्यता सिद्धांत
1. 13 एंबेड समीकरण.3 1415 2.13 एंबेड समीकरण.3 1415 3. 13 एंबेड समीकरण.3 1415 4. 13 एंबेड समीकरण.3 14155. 13 एंबेड समीकरण.3 14156.13 एंबेड समीकरण.3 1415 7. 13 एंबेड समीकरण. 3 1415

यादृच्छिक चर, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर का विचरण।
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 एंबेड समीकरण.3 1415 4. 13 एंबेड समीकरण.3 1415 5.13 एंबेड समीकरण.3 1415 6.13 एंबेड समीकरण.3 1415.

मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण मूल समीकरण

अनुशासन में एक व्यावहारिक पाठ का पद्धतिगत विकास: "गणित"

विषय: "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत"

उदाहरण 1 . गणना करें: ए) ; बी) ; वी) .

समाधान। ए) ।

बी) चूंकि , तो हम इसे कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं

फिर हमें मिलता है

वी) .

उदाहरण 2 . एक शेल्फ पर छह अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान। तरीकों की आवश्यक संख्या 6 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।

उदाहरण 3. पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के सेनेटोरियम में तीन वाउचर वितरित करने के कितने विकल्प संकलित किए जा सकते हैं?

समाधान। विकल्पों की आवश्यक संख्या 3 तत्वों में से 5 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है, अर्थात।

उदाहरण 4 . 25 लोगों की एक टीम में, आपको एक निश्चित क्षेत्र में काम करने के लिए चार लोगों को आवंटित करना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। चूँकि चुने गए चार लोगों का क्रम कोई मायने नहीं रखता, इसलिए ऐसा किया जा सकता हैतौर तरीकों।

हम पहले सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं

इसके अलावा, समस्याओं को हल करते समय, संयोजनों के मूल गुणों को व्यक्त करते हुए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

(परिभाषा के अनुसार वे मानते हैं और);

1.2. संयुक्त समस्याओं का समाधान

कार्य 1. संकाय 16 विषयों का अध्ययन करता है। आपको सोमवार के लिए अपने शेड्यूल में 3 विषय रखने होंगे। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान। 16 में से तीन आइटमों को शेड्यूल करने के उतने ही तरीके हैं जितने आप 16 आइटमों के प्लेसमेंट को 3 तक व्यवस्थित कर सकते हैं।

कार्य 2. 15 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं का चयन करना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान।

कार्य 3. प्रतियोगिता में चार टीमों ने हिस्सा लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के कितने विकल्प संभव हैं?

समाधान।

कार्य 4. यदि 80 सैनिक और 3 अधिकारी हैं तो एक गश्ती दल में तीन सैनिक और एक अधिकारी कितने प्रकार से हो सकते हैं?

समाधान। आप गश्त पर एक सैनिक चुन सकते हैं

तरीके, और अधिकारी तरीकों से। चूंकि कोई भी अधिकारी सैनिकों की प्रत्येक टीम के साथ जा सकता है, इसलिए बहुत सारे रास्ते हैं।

कार्य 5. यदि यह ज्ञात हो तो खोजें।

समाधान।

चूँकि, हमें मिलता है

, .

संयोजन की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि , . वह। .

उत्तर: 9

1.3. एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा. घटनाओं के प्रकार. घटना की संभावना

उदाहरण। बॉक्स में 30 क्रमांकित गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएँ असंभव, विश्वसनीय या विपरीत हैं:

एक नंबर वाली गेंद निकाली(ए);

सम संख्या वाली एक गेंद मिली(में);

एक विषम संख्या वाली गेंद मिली(साथ);

बिना नंबर की एक गेंद मिली(डी)।

उनमें से कौन एक पूर्ण समूह बनाता है?

समाधान. ए - विश्वसनीय घटना;डी - असंभव घटना;

में औरसाथ -विपरीत घटनाएँ.

घटनाओं का पूरा समूह शामिल हैए औरडी, वी औरसाथ .

घटना की संभावना , को एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।

1.4. संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा

कार्य 1. 1000 टिकटों की लॉटरी में 200 टिकटें विजयी होती हैं। एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह टिकट विजेता है?

समाधान। विभिन्न परिणामों की कुल संख्या हैएन =1000. जीतने के अनुकूल परिणामों की संख्या हैएम=200. सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

कार्य 2. 18 भागों के एक बैच में 4 दोषपूर्ण हैं। 5 भाग यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं। इन 5 भागों में से दो के ख़राब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्याएन 18 बटा 5 के संयोजनों की संख्या के बराबर अर्थात

आइए संख्या गिनेंएम, घटना ए के अनुकूल। यादृच्छिक रूप से लिए गए 5 भागों में से 3 उच्च गुणवत्ता वाले और 2 दोषपूर्ण होने चाहिए। 4 मौजूदा दोषपूर्ण भागों में से दो दोषपूर्ण भागों को चुनने के तरीकों की संख्या 4 बटा 2 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:

14 उपलब्ध गुणवत्ता वाले भागों में से तीन गुणवत्ता वाले भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या बराबर है

अच्छे भागों के किसी भी समूह को दोषपूर्ण भागों के किसी भी समूह के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए संयोजनों की कुल संख्याएम के बराबर है

घटना ए की वांछित संभावना परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर हैएम, इस घटना के अनुकूल, संख्या के लिएएनसभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणाम:

1.5. असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय

मात्रा घटनाओं की एक सीमित संख्या एक ऐसी घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना शामिल होती है।

दो घटनाओं के योग को प्रतीक A+B और योग द्वारा दर्शाया जाता हैएन घटना प्रतीक ए 1 +ए 2 +… +ए एन .

संभाव्यता जोड़ प्रमेय.

कार्य 1. 100 लॉटरी टिकट हैं। यह ज्ञात है कि 5 टिकट 20,000 रूबल जीतते हैं, 10 टिकट 15,000 रूबल जीतते हैं, 15 टिकट 10,000 रूबल जीतते हैं, 25 टिकट 2,000 रूबल जीतते हैं। और बाकी के लिए कुछ भी नहीं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदे गए टिकट पर कम से कम 10,000 रूबल की जीत प्राप्त होगी।

समाधान। मान लीजिए कि ए, बी और सी ऐसी घटनाएँ हैं जिनमें यह तथ्य शामिल है कि खरीदे गए टिकट पर क्रमशः 20,000, 15,000 और 10,000 रूबल के बराबर जीत मिलती है। चूँकि घटनाएँ A, B और C असंगत हैं

कार्य 2. तकनीकी स्कूल का पत्राचार विभाग शहरों से गणित की परीक्षाएँ प्राप्त करता हैए, बी औरसाथ . शहर से एक परीक्षण प्राप्त होने की संभावनाए शहर से 0.6 के बराबरमें - 0.1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला परीक्षण शहर से आएगासाथ .

समाधान। घटनाएँ “परीक्षण शहर से आया थाए ", "परीक्षण शहर बी से आया" और "परीक्षण शहर सी से आया" एक पूर्ण प्रणाली बनाते हैं, इसलिए उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

, यानी .

कार्य 3. संभावना है कि दिन साफ़ रहेगा। दिन में बादल छाए रहने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। इसलिए, घटनाएँ "स्पष्ट दिन" और "बादल वाला दिन" विपरीत हैं

वह है

1.6. स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय

कार्य 1. इस संभावना की गणना करें कि जिस परिवार में एक बच्चा, एक लड़का है, वहां दूसरा लड़का पैदा होगा।

समाधान। चलो घटनाए यह कि परिवार में दो लड़के हैं, और घटनामें - वह एक लड़का.

सभी संभावित परिणामों पर विचार करें: लड़का और लड़का; लड़का और लड़की; लड़की और लड़का; लड़की और लड़की.

फिर, और सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं

कार्य 2. पहले कलश में 6 काली और 4 सफेद गेंदें हैं, दूसरे कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें सफेद होंगी?

समाधान। मान लीजिए - पहले कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है; - दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। यह स्पष्ट है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

क्योंकि , , फिर हम जो सूत्र पाते हैं उसका उपयोग करते हुए

कार्य 3. डिवाइस में दो तत्व होते हैं जो स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। पहले तत्व की विफलता की संभावना 0.2 है; दूसरे तत्व की विफलता की संभावना 0.3 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) दोनों तत्व विफल हो जाएंगे; बी) दोनों तत्व काम करेंगे।

समाधान। चलो घटनाए - पहले तत्व की विफलता, घटनामें - दूसरे तत्व की उनकी संरचना का आउटपुट। ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं (शर्त के अनुसार)।

ए) एक साथ उपस्थितिए औरमें एक घटना हैअब . इस तरह,

बी) यदि पहला तत्व काम करता है, तो एक घटना घटित होती है (घटना के विपरीत)।ए - इस तत्व की विफलता); यदि दूसरा तत्व काम करता है - घटनामें। आइए घटनाओं की संभावनाएं खोजें और:

तब यह घटना है कि दोनों तत्व काम करेंगे और, इसलिए,

द्वितीय . यादृच्छिक चर, इसका वितरण कार्य

2.1. यादृच्छिक चर, इसे निर्दिष्ट करने के तरीके

यादृच्छिक एक मात्रा है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक या दूसरा संख्यात्मक मान ले सकती है, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है।

यदि किसी भी मात्रा के लिए उसका माप व्यावहारिक रूप से समान परिस्थितियों में कई बार दोहराया जाता है, तो आप पाएंगे कि हर बार आपको थोड़ा अलग परिणाम प्राप्त होता है। यह दो प्रकार के कारणों का प्रभाव है: 1) मूल कारण, परिणाम का मुख्य अर्थ निर्धारित करना; 2) द्वितीयक, जो उनके विचलन का कारण बनते हैं।

इन कारणों की संयुक्त कार्रवाई के साथ, आवश्यकता और मौका की अवधारणाएं एक-दूसरे से निकटता से जुड़ी हुई हैं, लेकिन जरूरी मौके पर हावी है।

इस प्रकार, यादृच्छिक चर के संभावित मान कुछ संख्यात्मक सेटों से संबंधित होते हैं।

जो यादृच्छिक है वह यह है कि इन सेटों पर मात्राएँ कोई भी मूल्य ले सकती हैं, लेकिन कौन सा पहले से नहीं कहा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक घटना से जुड़ा होता है।

यदि कोई यादृच्छिक घटना -गुणवत्ता विशेषता परीक्षण, तो यादृच्छिक चर इसका हैमात्रात्मक विशेषता .

यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा और उनके अर्थ को बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है -।

एक यादृच्छिक चर के मान लेने की प्रायिकता को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:

वगैरह।

यादृच्छिक चर वितरण कानूनों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं।

यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच स्थापित पत्राचार है।

वितरण कानूनों को तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है: सारणीबद्ध, ग्राफिकल, विश्लेषणात्मक। सेटिंग की विधि यादृच्छिक चर के प्रकार पर निर्भर करती है।

यादृच्छिक चर के दो मुख्य प्रकार हैं:असतत और लगातार वितरित यादृच्छिक चर।

2.2. असतत और सतत यादृच्छिक चर

यदि दिए गए यादृच्छिक चर के मान संख्याओं की एक असतत (परिमित या अनंत) श्रृंखला बना सकते हैं, तो यादृच्छिक चर को ही कहा जाता हैपृथक.

यदि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के मान संख्या अक्ष के एक परिमित या अनंत अंतराल (ए, बी) को भर सकते हैंओह, तब यादृच्छिक चर कहा जाता हैनिरंतर।

असतत प्रकार के यादृच्छिक चर का प्रत्येक मान एक निश्चित संभावना से मेल खाता है; निरंतर प्रकार के यादृच्छिक चर के मानों की सीमा से प्रत्येक अंतराल (ए, बी) भी एक निश्चित संभावना से मेल खाता है कि यादृच्छिक चर द्वारा लिया गया मान इस अंतराल में आता है।

2.3. यादृच्छिक चर का वितरण नियम

वह संबंध जो किसी न किसी रूप में किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों और उनकी संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है, कहलाता हैवितरण का नियम अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम आमतौर पर दिया जाता हैअगला वितरण:

एक ही समय पर, जहां योग किसी दिए गए यादृच्छिक चर के संभावित मानों के संपूर्ण (परिमित या अनंत) सेट तक विस्तारित होता है।

इसका उपयोग करके सतत यादृच्छिक चर के वितरण नियम को निर्दिष्ट करना सुविधाजनक हैसंभाव्यता सघनता फ़ंक्शन .

संभावना है कि यादृच्छिक चर द्वारा लिया गया मान अंतराल (ए, बी) में गिर जाएगा समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

फ़ंक्शन का ग्राफ़ कहा जाता हैवितरण वक्र . ज्यामितीय रूप से, एक यादृच्छिक चर के अंतराल (ए, बी) में गिरने की संभावना वितरण वक्र, अक्ष से घिरे संबंधित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर हैओह और सीधाएक्स=ए, एक्स=बी.

कार्य 1. यादृच्छिक चर मानों की संभावनाएँ दी गई हैं: मान 10 की संभावना 0.3 है; मान 2 - संभाव्यता 0.4; मान 8 – संभाव्यता 0.1; मान 4 - संभाव्यता 0.2. एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

समाधान। यादृच्छिक चर के मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करके, हम वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

आइए इसे हवाई जहाज़ पर ले चलेंसहगान अंक (2; 0.4), (4; 0.2), (8; 0.1) और (10; 0.3)। क्रमिक बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता हैबहुभुज (याबहुभुज ) एक यादृच्छिक चर का वितरण

एक्स

कार्य 2. 5,000 रूबल मूल्य की दो वस्तुएँ और 30,000 रूबल मूल्य की एक वस्तु प्राप्त करने के लिए हैं। 50 में से एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति के लिए जीत के वितरण का एक कानून बनाएं।

समाधान। वांछित यादृच्छिक चर एक लाभ है और तीन मान ले सकता है: 0, 5000 और 30000 रूबल। पहले नतीजे को 47 मामलों ने समर्थन दिया, दूसरे नतीजे को दो मामलों ने और तीसरे नतीजे को एक मामले ने पसंद किया। आइए उनकी संभावनाएं खोजें:

; ; .

यादृच्छिक चर के वितरण नियम का रूप है:

जाँच के रूप में हम पाएंगे

कार्य 3. यादृच्छिक चर घनत्व के साथ वितरण कानून के अधीन है, और

आवश्यक: 1) गुणांक खोजें a; 2) घनत्व वितरण ग्राफ बनाएं; 3) अंतराल (1; 2) में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) चूँकि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के सभी मान खंड पर समाहित हैं

, कहाँ

, या

वे। .

2) अंतराल में किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, और इस अंतराल के बाहर x-अक्ष स्वयं ग्राफ़ के रूप में कार्य करता है।

एक्स

) एक यादृच्छिक चर के अंतराल (1; 2) में गिरने की संभावना समानता से पाई जा सकती है

2.4. द्विपद वितरण

एक निश्चित संख्या उत्पन्न होने दीजिएएन स्वतंत्र प्रयोग, और उनमें से प्रत्येक में समान संभावना के साथ कुछ घटनाएँ घटित हो सकती हैंआर . घटनाओं की घटनाओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले एक यादृच्छिक चर पर विचार करेंए वीएन प्रयोग. इसके वितरण का नियम रूप है

कहाँ, की गणना बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

वितरण कानून, जिसे ऐसी तालिका द्वारा दर्शाया जाता है, कहा जाता हैद्विपद .

काम। सिक्के को 5 बार उछाला जाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाएं - हथियारों के कोट की संख्या।

समाधान। यादृच्छिक चर के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5। यह जानते हुए कि एक परीक्षण में हथियारों के एक कोट के गिरने की संभावना बराबर है, हम मूल्यों की संभावनाओं का पता लगाएंगे बर्नौली सूत्र का उपयोग करके यादृच्छिक चर का:

वितरण कानून का स्वरूप है

की जाँच करें:

तृतीय . एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता

3.1. असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

उदाहरण 1 . किसी यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को जानकर उसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए

समाधान।

गणितीय अपेक्षा के गुण.

1. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

2. एक स्थिर मूल्य की गणितीय अपेक्षासाथ इस मान के ही बराबर:

3. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा इन चरों की गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

3.2. यादृच्छिक चर का मानक विचलन और विचरण।

उदाहरण 2. आइए यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें और उनके वितरण के नियमों को जानें

समाधान:

पी

हमें एक दिलचस्प परिणाम मिला: मात्राओं के वितरण के नियम अलग-अलग हैं, लेकिन उनकी गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं।

बी)

ड्राइंग सेबी यह स्पष्ट है कि मात्रा का मूल्य गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष बिखरे हुए (बिखरे हुए) मात्रा के मूल्यों की तुलना में गणितीय अपेक्षा के आसपास अधिक केंद्रित है (चित्रा)ए ).

गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव की डिग्री की मुख्य संख्यात्मक विशेषता फैलाव है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है।

समीकरण हल करें

ए) . बी) ।

अंक 0, 1, 2, 5, 7 से 5 से विभाज्य कितनी चार अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि प्रत्येक संख्या में समान अंक न हों?

आप कितने तरीकों से 6 में से 3 कार्ड चुन सकते हैं?

उत्सव की मेज पर 10 मेहमानों को दस स्थानों पर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

एक दौर की चैम्पियनशिप में 20 फुटबॉल टीमों को कितने खेल खेलने चाहिए?

संभाव्यता सिद्धांत

कलश में 7 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। कलश से एक ही समय में दो गेंदें निकाली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें लाल हैं (घटना A)?

यादृच्छिक चर, गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर का विचरण

यदि एक शॉट से हिट की संभावना 0.4 है, तो छह शॉट वाले लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिएएक्स, यदि इसके वितरण का नियम तालिका द्वारा दिया गया है:

इसके वितरण के नियम को जानते हुए यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए: 5. प्रतिक्रिया दें संदर्भ

मुख्य:

बोगोमोलोव एन.वी. गणित में व्यावहारिक पाठ. - एम.: हायर स्कूल, 1990. - 495 पी.
सोलोवेचिक आई.एल. तकनीकी स्कूलों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह / आई.एल. सोलोवेचिक, वी.टी. लिसिचकिन। - एम.: गोमेद 21वीं सदी, 2003। - 464 पी।
वलुत्से आई.आई. तकनीकी स्कूलों के लिए गणित / आई.आई. वलूटा, जी.डी. डिलिगुल. - एम.: नौका, 1989. - 575 पी.
डैंको पी.ई. अभ्यास और समस्याओं में उच्च गणित। दो भागों में. भागद्वितीय/ पी.ई. डैंको, ए.जी. पोपोव, टी.वाई.ए. कोज़ेवनिकोवा। - एम.: हायर स्कूल, 1986. - 415 पी.
वायगोडस्की एम.वाई.ए. उच्च गणित की पुस्तिका. - एम.: नौका, 1975. - 872 पी.

अतिरिक्त:

ग्रिगुलेट्स्की वी.जी. आर्थिक विशिष्टताओं के छात्रों के लिए गणित। भाग 2 / वी.जी. ग्रिगुलेट्स्की, आई.वी. लुक्यानोवा, आई.ए. पेटुनिना। - क्रास्नोडार, 2002. - 348 पी।

माल्यखिन वी.आई. अर्थशास्त्र में गणित. - एम.: इंफ्रा-एम, 1999. - 356 पी.

गुसाक ए.ए. उच्च गणित. 2 खंडों में, टी.2. - विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। - एम.: टेट्रासिस्टम्स, 1988. - 448 पी।

ग्रिगुलेट्स्की वी.जी. उच्च गणित / वी.जी. ग्रिगुलेट्स्की, जेड.वी. यशचेंको। - क्रास्नोडार, 1998.-186 पी।

गमुरमन वी.ई. संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में समस्याओं को हल करने के लिए एक मार्गदर्शिका। - एम.: हायर स्कूल, 2000. - 400 पी.

संयुक्त समस्याओं को हल करने के तरीके

संभावित विकल्पों की गणना

विभिन्न तालिकाओं और आरेखों को बनाए बिना संभावित विकल्पों की सामान्य विस्तृत खोज से सरल समस्याओं का समाधान किया जाता है।

कार्य 1.
संख्या 1, 2, 3, 4, 5 से कौन सी दो अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

उत्तर: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

कार्य 2.
इवानोव, ग्रोमोव और ओर्लोव अंतिम 100 मीटर दौड़ में भाग ले रहे हैं। पुरस्कार वितरण के लिए संभावित विकल्पों के नाम बताइए।

उत्तर:
विकल्प1: 1) इवानोव, 2) ग्रोमोव, 3) ओर्लोव।
विकल्प 2: 1) इवानोव, 2) ओर्लोव, 3) ग्रोमोव।
विकल्प 3: 1) ओर्लोव, 2) इवानोव, 3) ग्रोमोव।
विकल्प4: 1) ओर्लोव, 2) ग्रोमोव, 3) इवानोव।
विकल्प5: 1) ग्रोमोव, 2) ओर्लोव, 3) इवानोव।
विकल्प6: 1) ग्रोमोव, 2) इवानोव, 3) ओर्लोव।

कार्य 3.
पेट्या, कोल्या, वाइटा, ओलेग, तान्या, ओलेया, नताशा, स्वेता ने बॉलरूम डांस क्लब के लिए साइन अप किया। एक लड़की और एक लड़के की कौन सी नृत्य जोड़ी बन सकती है?

उत्तर:
1) तान्या - पेट्या, 2) तान्या - कोल्या, 3) तान्या - वित्या, 4) तान्या - ओलेग, 5) ओल्या - पेट्या, 6) ओल्या - कोल्या, 7) ओल्या - वित्या, 8) ओल्या - ओलेग, 9) नताशा - पेट्या, 10) नताशा - कोल्या, 11) नताशा - वाइत्या, 12) नताशा - ओलेग, 13) स्वेता - पेट्या, 14) स्वेता - कोल्या, 15) स्वेता - वाइत्या, 16) स्वेता - ओलेग।

संभावित विकल्पों का वृक्ष

विशेष सर्किट बनाकर विभिन्न प्रकार की संयुक्त समस्याओं का समाधान किया जाता है। बाह्य रूप से यह योजना एक पेड़ के समान होती है, इसलिए विधि का नाम - संभावित विकल्पों का वृक्ष.

कार्य 4.
संख्या 0, 2, 4 से कौन सी तीन अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक वृक्ष बनाएं, यह ध्यान में रखते हुए कि 0 संख्या में पहला अंक नहीं हो सकता है।

उत्तर: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

कार्य 5.
स्कूली पर्यटकों ने एक पहाड़ी झील की सैर करने का निर्णय लिया। यात्रा का पहला चरण ट्रेन या बस से तय किया जा सकता है। दूसरा चरण कश्ती, साइकिल या पैदल है। और यात्रा का तीसरा चरण पैदल या केबल कार का उपयोग करना है। स्कूली पर्यटकों के पास यात्रा के क्या संभावित विकल्प हैं?

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं, जो ट्रेन से यात्रा पी, बस से - ए, कश्ती से - बी, साइकिल से - बी, पैदल - एक्स, केबल कार से - के को दर्शाता है।

उत्तर:यह आंकड़ा स्कूली पर्यटकों के लिए सभी 12 संभावित यात्रा विकल्पों को सूचीबद्ध करता है।

कार्य 6.
विषयों से प्रति दिन पांच पाठों को निर्धारित करने के लिए सभी संभावित विकल्प लिखें: गणित, रूसी, इतिहास, अंग्रेजी, शारीरिक शिक्षा, और गणित दूसरा पाठ होना चाहिए।

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं, जो एम - गणित, आर - रूसी, आई - इतिहास, ए - अंग्रेजी, एफ - शारीरिक शिक्षा को दर्शाता है।

उत्तर:कुल 24 संभावित विकल्प हैं:

आर
एम
और
ए
एफ

आर
एम
और
एफ
ए

आर
एम
ए
और
एफ

आर
एम
ए
एफ
और

आर
एम
एफ
और
ए

आर
एम
एफ
ए
और

और
एम
आर
ए
एफ

और
एम
आर
एफ
ए

और
एम
ए
आर
एफ

और
एम
ए
एफ
आर

और
एम
एफ
आर
ए

और
एम
एफ
ए
आर

ए
एम
आर
और
एफ

ए
एम
आर
एफ
और

ए
एम
और
आर
एफ

ए
एम
और
एफ
आर

ए
एम
एफ
आर
और

ए
एम
एफ
और
आर

एफ
एम
आर
और
ए

एफ
एम
आर
ए
और

एफ
एम
और
आर
ए

एफ
एम
और
ए
आर

एफ
एम
ए
आर
और

एफ
एम
ए
और
आर

कार्य 7.
साशा पतलून या जींस में स्कूल जाती है; वह उनके साथ ग्रे, नीली, हरी या चेकर्ड शर्ट पहनती है, और जूते के बदले में जूते या स्नीकर्स लेती है।
a) साशा कितने दिनों में नई दिख पाएगी?
ख) वह कितने दिनों तक स्नीकर्स पहनेगा?
ग) वह चेकदार शर्ट और जींस कितने दिनों तक पहनेगा?

समाधान।आइए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं, जो बी - पतलून, डी - जींस, सी - ग्रे शर्ट, जी - नीली शर्ट, जेड - हरी शर्ट, पी - चेकर्ड शर्ट, टी - जूते, के - स्नीकर्स को दर्शाता है।

उत्तर:क) 16 दिन; बी) 8 दिन; ग) 2 दिन.

तालिकाएँ संकलित करना

आप तालिकाओं का उपयोग करके संयुक्त समस्याओं को हल कर सकते हैं। वे, संभावित विकल्पों के वृक्ष की तरह, ऐसी समस्याओं के समाधान का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं।

कार्य 8.
अंक 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 से दो अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान।आइए एक तालिका बनाएं: बाईं ओर पहला कॉलम आवश्यक संख्याओं का पहला अंक है, शीर्ष पर पहली पंक्ति दूसरे अंक है।

उत्तर: 28.

कार्य 9.
माशा, ओलेया, वेरा, इरा, एंड्री, मिशा और इगोर नए साल की छुट्टियों में प्रस्तुतकर्ता बनने की तैयारी कर रहे थे। यदि केवल एक लड़की और एक लड़का नेतृत्व कर सकते हैं तो संभावित विकल्पों का नाम बताएं।

समाधान।आइए एक तालिका बनाएं: बाईं ओर पहला कॉलम लड़कियों के नाम है, शीर्ष पर पहली पंक्ति लड़कों के नाम है।

उत्तर:सभी संभावित विकल्प तालिका की पंक्तियों और स्तंभों में सूचीबद्ध हैं।

गुणन नियम

संयुक्त समस्याओं को हल करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सभी संभावित विकल्पों को सूचीबद्ध करना आवश्यक नहीं होता है, लेकिन आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता होती है - उनमें से कितने मौजूद हैं।

समस्या 10.
फुटबॉल टूर्नामेंट में कई टीमें भाग लेती हैं। यह पता चला कि वे सभी अपने शॉर्ट्स और टी-शर्ट के लिए सफेद, लाल, नीले और हरे रंगों का इस्तेमाल करते थे, और सभी संभावित विकल्प प्रस्तुत किए गए थे। टूर्नामेंट में कितनी टीमों ने भाग लिया?

समाधान।
ब्रीफ सफेद, लाल, नीला या हरा हो सकता है, यानी। वहाँ 4 विकल्प हैं. इनमें से प्रत्येक विकल्प में 4 जर्सी रंग विकल्प हैं।

4 x 4 = 16.

उत्तर: 16 टीमें.

समस्या 11.
6 छात्र गणित की परीक्षा देते हैं। उन्हें सूची में कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान।
सूची में पहले स्थान पर 6 छात्रों में से कोई भी हो सकता है,
सूची में दूसरे स्थान पर शेष 5 छात्रों में से कोई भी हो सकता है,
तीसरा - शेष 4 छात्रों में से कोई भी,
चौथा - शेष 3 छात्रों में से कोई भी,
पांचवां - शेष 2 छात्रों में से कोई भी,
छठा - अंतिम 1 छात्र।

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

उत्तर: 720 तरीके.

समस्या 12.
अंक 0, 2, 3, 4, 6, 7 से दो अंकों की कितनी सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान।
दो अंकों की संख्या में पहला 5 अंकों का हो सकता है (अंक 0 संख्या में पहला नहीं हो सकता), दो अंकों की संख्या में दूसरा 4 अंकों का हो सकता है (0, 2, 4, 6, क्योंकि संख्या होनी चाहिए) यहां तक की)।
5 x 4 = 20.

उत्तर: 20 नंबर.

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़े। संभवतः संयोजन

प्रतिलिपि

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