एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। चार सूत्र जिनका उपयोग एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए किया जा सकता है

एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के समान सभी सूत्र लागू होते हैं, जिसमें ऊँचाई और भुजाओं के गुणनफल के माध्यम से क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र भी शामिल है।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों को जानकर भी ज्ञात किया जा सकता है। विकर्ण समचतुर्भुज को चार बिल्कुल समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। यदि हम उन्हें क्रमबद्ध करके एक आयत बनाते हैं, तो इसकी लंबाई और चौड़ाई एक पूर्ण विकर्ण और दूसरे विकर्ण के आधे के बराबर होगी। इसलिए, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल समचतुर्भुज के विकर्णों को दो से कम करके (परिणामस्वरूप आयत के क्षेत्रफल के रूप में) गुणा करके पाया जाता है।

यदि आपके पास केवल एक कोण और एक भुजा है, तो आप विकर्ण को सहायक के रूप में उपयोग कर सकते हैं और इसे ज्ञात कोण के विपरीत खींच सकते हैं। फिर यह समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित कर देगा, जिनका क्षेत्रफल जुड़कर हमें समचतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त होगा। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान भुजा के वर्ग और ज्ञात कोण की ज्या के आधे गुणनफल के बराबर होगा। चूँकि ऐसे दो त्रिभुज हैं, इसलिए गुणांक कम हो जाते हैं, केवल दूसरी घात की भुजा और ज्या रह जाती है:

यदि आप एक समचतुर्भुज के अंदर एक वृत्त अंकित करते हैं, तो इसकी त्रिज्या 90° के कोण पर भुजा से संबंधित होगी, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या का दोगुना, समचतुर्भुज की ऊंचाई के बराबर होगा। पिछले सूत्र में ऊँचाई h=2r के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल S=ha=2ra प्राप्त होता है

यदि, अंकित वृत्त की त्रिज्या के साथ, एक भुजा नहीं, बल्कि एक कोण दिया गया है, तो आपको पहले ऊँचाई खींचकर इस प्रकार भुजा ज्ञात करनी होगी कि दिए गए कोण के साथ एक समकोण त्रिभुज प्राप्त हो सके। फिर सूत्र का उपयोग करके त्रिकोणमितीय संबंधों से पक्ष a पाया जा सकता है . इस अभिव्यक्ति को एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए समान मानक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

समकोण वाले समचतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है और इसे समचतुर्भुज का एक विशेष मामला माना जाता है। आप किसी समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके सभी तत्वों - भुजाएँ, विकर्ण, ऊँचाई का उपयोग करके विभिन्न तरीकों से ज्ञात कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए क्लासिक सूत्र ऊंचाई के माध्यम से मूल्य की गणना करना है।

इस सूत्र का उपयोग करके एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण बहुत सरल है। आपको बस डेटा को प्रतिस्थापित करने और क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है।

विकर्णों के माध्यम से एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का उसके विकर्णों के संदर्भ में सूत्र उसके विकर्णों को 2 से विभाजित करने का गुणनफल है।

आइए विकर्णों का उपयोग करके एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण देखें। आइए हमें विकर्णों वाला एक समचतुर्भुज दिया जाए
d1 =5 सेमी और d2 =4. आइए क्षेत्रफल ज्ञात करें.

भुजाओं से होकर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र अन्य तत्वों के उपयोग को भी दर्शाता है। यदि एक वृत्त एक समचतुर्भुज में अंकित है, तो आकृति के क्षेत्रफल की गणना भुजाओं और उसकी त्रिज्या से की जा सकती है:

भुजाओं के माध्यम से एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण भी बहुत सरल है। आपको केवल अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने की आवश्यकता है। इसे पाइथागोरस प्रमेय और सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

भुजा और कोण से होकर जाने वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

भुजा और कोण के संदर्भ में समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र बहुत बार प्रयोग किया जाता है।

आइए एक भुजा और एक कोण का उपयोग करके समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण देखें।

काम:एक समचतुर्भुज दिया गया है जिसके विकर्ण d1 = 4 सेमी, d2 = 6 सेमी हैं। न्यूनकोण α = 30° है। भुजा और कोण का उपयोग करके आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
सबसे पहले, आइए समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात करें। इसके लिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि प्रतिच्छेदन बिंदु पर विकर्ण समद्विभाजित होते हैं और समकोण बनाते हैं। इस तरह:
आइए मानों को प्रतिस्थापित करें:
अब हम भुजा और कोण जानते हैं। आइये क्षेत्रफल ज्ञात करें:

एक रोम्बस (प्राचीन ग्रीक ῥόμβος से और लैटिन रोम्बस "टैम्बोरिन" से) एक समांतर चतुर्भुज है, जो समान लंबाई की भुजाओं की उपस्थिति की विशेषता है। जब कोण 90 डिग्री (या समकोण) होते हैं, तो ऐसी ज्यामितीय आकृति को वर्ग कहा जाता है। समचतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है, एक प्रकार का चतुर्भुज। यह वर्ग और समांतर चतुर्भुज दोनों हो सकता है।

इस शब्द की उत्पत्ति

आइए इस आकृति के इतिहास के बारे में थोड़ी बात करें, जिससे हमें प्राचीन दुनिया के कुछ रहस्यमय रहस्यों को उजागर करने में मदद मिलेगी। हमारे लिए परिचित शब्द, जो अक्सर स्कूली साहित्य में पाया जाता है, "रोम्बस" की उत्पत्ति प्राचीन ग्रीक शब्द "टैम्बोरिन" से हुई है। प्राचीन ग्रीस में, इन संगीत वाद्ययंत्रों का उत्पादन हीरे या चौकोर आकार में किया जाता था (आधुनिक उपकरणों के विपरीत)। निश्चित रूप से आपने देखा होगा कि कार्ड सूट - हीरे - में एक रंबिक आकार होता है। इस सूट का निर्माण उस समय से हुआ है जब रोजमर्रा की जिंदगी में गोल हीरे का उपयोग नहीं किया जाता था। नतीजतन, रोम्बस सबसे पुरानी ऐतिहासिक आकृति है जिसका आविष्कार पहिये के आगमन से बहुत पहले मानव जाति द्वारा किया गया था।

पहली बार "रोम्बस" जैसे शब्द का इस्तेमाल हेरॉन और अलेक्जेंड्रिया के पोप जैसी प्रसिद्ध हस्तियों द्वारा किया गया था।

एक समचतुर्भुज के गुण

1. चूँकि एक समचतुर्भुज की भुजाएँ एक दूसरे के विपरीत होती हैं और जोड़े में समानांतर होती हैं, तो समचतुर्भुज निस्संदेह एक समांतर चतुर्भुज (AB || CD, AD || BC) होता है।
2. समचतुर्भुज विकर्ण समकोण (AC ⊥ BD) पर प्रतिच्छेद करते हैं, और इसलिए लंबवत होते हैं। इसलिए, प्रतिच्छेद विकर्णों को समद्विभाजित करता है।
3. समचतुर्भुज कोणों के समद्विभाजक समचतुर्भुज के विकर्ण होते हैं (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, आदि)।
4. समांतर चतुर्भुज की पहचान से यह पता चलता है कि एक समचतुर्भुज के विकर्णों के सभी वर्गों का योग भुजा के वर्ग की संख्या है, जिसे 4 से गुणा किया जाता है।

हीरे के लक्षण

एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जब यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
2. समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात वे एक दूसरे के लंबवत होते हैं (AC⊥BD)। इससे तीन भुजाओं (भुजाएँ बराबर और 90 डिग्री के कोण पर) का नियम सिद्ध होता है।
3. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण कोणों को समान रूप से विभाजित करते हैं क्योंकि भुजाएँ समान होती हैं।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल

1. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उस संख्या के बराबर होता है जो उसके सभी विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
2. चूँकि समचतुर्भुज एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज है, समचतुर्भुज (S) का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज की भुजा और उसकी ऊँचाई (h) का गुणनफल है।
3. इसके अलावा, एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जो समचतुर्भुज के वर्ग पक्ष और कोण की ज्या का गुणनफल है। कोण की ज्या अल्फा है - मूल समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच स्थित कोण।
4. एक सूत्र जो कोण अल्फा के दोगुने और अंकित वृत्त (r) की त्रिज्या का गुणनफल है, सही समाधान के लिए काफी स्वीकार्य माना जाता है।

लेख में हम विचार करेंगे रोम्बस क्षेत्र सूत्रऔर सिर्फ एक ही नहीं! हम आपको तस्वीरों में दिखाएंगे कि यह कितना आसान है सरल सूत्रों का उपयोग करके एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल.

एक समचतुर्भुज में एक या दूसरी मात्रा ज्ञात करने के लिए बड़ी संख्या में कार्य होते हैं, और जिन सूत्रों पर चर्चा की जाएगी, वे इसमें हमारी सहायता करेंगे।
समचतुर्भुज एक अलग प्रकार का चतुर्भुज है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। यह समांतर चतुर्भुज के एक विशेष मामले का भी प्रतिनिधित्व करता है जिसमें भुजाएँ AB=BC=CD=AD बराबर हैं।

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एक समचतुर्भुज में निम्नलिखित गुण होते हैं:

एक समचतुर्भुज में समान समांतर कोण होते हैं
- दो आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है,
- विकर्णों का 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद,
- समचतुर्भुज के समद्विभाजक उसके विकर्ण होते हैं,
- प्रतिच्छेद करते समय विकर्ण बराबर भागों में विभाजित हो जाता है।

एक समचतुर्भुज में निम्नलिखित विशेषताएं होती हैं:

यदि कोई समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण 90 डिग्री के कोण पर मिलते हैं, तो उसे समचतुर्भुज कहते हैं।
- यदि कोई समांतर चतुर्भुज जिसका समद्विभाजक विकर्ण हो तो उसे समचतुर्भुज कहते हैं।
- यदि किसी समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ समान हों, तो वह एक समचतुर्भुज है।
- यदि किसी चतुर्भुज की भुजाएँ समान हों, तो वह एक समचतुर्भुज है।
- यदि कोई चतुर्भुज जिसका समद्विभाजक विकर्ण हो और विकर्ण 90 डिग्री के कोण पर मिलते हों, तो वह समचतुर्भुज होता है।
- यदि किसी समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई समान है, तो वह एक समचतुर्भुज है।

उपरोक्त संकेतों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक समचतुर्भुज को अन्य समान आकृतियों से अलग करना सीखने के लिए उनकी आवश्यकता है।

क्योंकि एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ समान होती हैं परिधि हैनिम्नलिखित सूत्र के अनुसार:
पी=4ए
समचतुर्भुज सूत्र का क्षेत्रफल

कई सूत्र हैं. सबसे सरल को 2 त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़कर हल किया जाता है, जो विकर्णों को विभाजित करके प्राप्त किए गए थे।

दूसरे सूत्र का उपयोग करके, आप समचतुर्भुज के ज्ञात विकर्णों की समस्याओं को हल कर सकते हैं। इस स्थिति में, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा: दो से विभाजित विकर्णों का योग।

इसे हल करना बहुत आसान है और इसे भुलाया नहीं जा सकेगा।

तीसरे सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है जब आप भुजाओं के बीच का कोण जानते हों। इसे जानकर, आप एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं; यह भुजाओं के वर्ग के गुणा कोण की ज्या के बराबर होगा। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा कोण है। चूँकि किसी कोण की ज्या का मान समान होता है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि क्षेत्रफल को वर्गों में मापा जाता है, और परिधि को इकाइयों में मापा जाता है। इन सूत्रों को व्यवहार में लागू करना बहुत आसान है।

आपको समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने में भी समस्याओं का सामना करना पड़ सकता है।

इसके लिए भी कई सूत्र हैं:

पहले सूत्र का उपयोग करते हुए, त्रिज्या को सभी भुजाओं के योग से प्राप्त संख्या से विभाजित विकर्णों के गुणनफल के रूप में पाया जाता है। या आधी ऊंचाई (r=h/2) के बराबर।

दूसरा सूत्र पहले से सिद्धांत लेता है और लागू होता है कि हम एक समचतुर्भुज के विकर्णों और भुजाओं को जानते हैं।

तीसरे सूत्र में, त्रिज्या प्रतिच्छेदन से उत्पन्न छोटे त्रिभुज की ऊंचाई से आती है।

हीरे की परिभाषा

विषमकोणएक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

यदि समचतुर्भुज की भुजाएँ समकोण बनाती हैं, तो हमें प्राप्त होता है वर्ग.

समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल, अधिकांश ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की तरह, कई तरीकों से पाया जा सकता है। आइए उनके सार को समझें और समाधान के उदाहरणों पर विचार करें।

भुजा और ऊंचाई के आधार पर एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

आइए हमें एक भुजा वाला एक समचतुर्भुज दिया जाए एक ए एऔर ऊंचाई एच एच एच, इस ओर खींचा गया। चूँकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, हम इसका क्षेत्रफल उसी प्रकार ज्ञात करते हैं जैसे एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

S = a ⋅ h S=a\cdot h एस=एक ⋅एच

ए ए ए- ओर;
एच एच एच- ऊँचाई को किनारे की ओर कम किया गया एक ए ए.

आइए एक सरल उदाहरण हल करें।

उदाहरण

एक समचतुर्भुज की भुजा 5 (सेमी) है। इस तरफ कम की गई ऊंचाई की लंबाई 2 (सेमी) है। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एस एस एस.

समाधान

ए = 5 ए=5 ए =5
एच = 2 एच=2 एच =2

हम अपने सूत्र का उपयोग करते हैं और गणना करते हैं:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10एस=एक ⋅एच =5 ⋅ 2 = 1 0 (वर्ग देखें)

उत्तर: 10 सेमी वर्ग.

विकर्णों का उपयोग करके समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

यहां सब कुछ उतना ही सरल है। आपको बस विकर्णों का आधा गुणनफल लेना है और क्षेत्रफल प्राप्त करना है।

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2एस=2 1 ​ ⋅ डी 1 ​ ⋅ डी 2 ​

डी 1, डी 2 डी_1, डी_2 डी 1 ​ , डी 2 ​ - एक समचतुर्भुज के विकर्ण.

उदाहरण

एक समचतुर्भुज का एक विकर्ण 7 (सेमी) है, और दूसरा पहले से 2 गुना बड़ा है। आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

डी 1 = 7 डी_1=7 डी 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1डी 2 ​ = 2 ⋅ डी 1 ​

आइए दूसरा विकर्ण ज्ञात करें:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14डी 2 ​ = 2 ⋅ डी 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
फिर क्षेत्र:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49एस=2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (वर्ग देखें)

उत्तर: 49 सेमी वर्ग.

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

S = a 2 ⋅ पाप ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)एस=ए 2 ⋅ पाप(α)

ए ए ए- समचतुर्भुज का किनारा;
α\अल्फ़ा α - समचतुर्भुज का कोई भी कोण।

उदाहरण

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसकी प्रत्येक भुजा 10 सेमी है और दो आसन्न भुजाओं के बीच का कोण 30 डिग्री है।

समाधान

ए = 10 ए=10 ए =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

हमें प्राप्त सूत्र का उपयोग करना:
एस = ए 2 ⋅ पाप ⁡ (α) = 100 ⋅ पाप ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50एस=ए 2 ⋅ पाप(α) =1 0 0 ⋅ पाप (3 0 ∘ ) = 5 0 (वर्ग देखें)

उत्तर: 50 सेमी वर्ग.

अंकित वृत्त की त्रिज्या और कोण के आधार पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

S = 4 ⋅ r 2 पाप ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))एस=पाप(α)4 ⋅ आर 2 ​

आर आर आर- एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या;
α\अल्फ़ा α - समचतुर्भुज का कोई भी कोण।

उदाहरण

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि आधारों के बीच का कोण 60 डिग्री है और अंकित वृत्त की त्रिज्या 4 (सेमी) है।

समाधान

आर = 4 आर=4 आर =4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 पाप ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 पाप ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73.9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\लगभग73.9एस=पाप(α)4 ⋅ आर 2 ​ = पाप (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (वर्ग देखें)

उत्तर: 73.9 सेमी वर्ग.

अंकित वृत्त और भुजा की त्रिज्या के आधार पर एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot rएस=2 ⋅ एक ⋅आर

ए ए ए- समचतुर्भुज का किनारा;
आर आर आर- एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या।

उदाहरण

आइए पिछली समस्या से स्थिति लें, लेकिन आइए हम कोण के बजाय समचतुर्भुज की भुजा को 5 सेमी के बराबर जानें।

समाधान

ए = 5 ए=5 ए =5
आर = 4 आर=4 आर =4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40एस=2 ⋅ एक ⋅आर =2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (वर्ग देखें)

उत्तर: 40 सेमी वर्ग.