हमारे द्वारा परिचय दिया गया सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँके लिए विभिन्न अभिव्यक्तियाँ बनाना संभव बनाएँ वेक्टर मात्राएँऔर इन परिचालनों के लिए निर्धारित गुणों का उपयोग करके उन्हें रूपांतरित करें।

वैक्टरों के दिए गए सेट a 1, ..., a n के आधार पर, आप फॉर्म की अभिव्यक्ति बना सकते हैं

जहाँ a 1, ..., और n मनमानी वास्तविक संख्याएँ हैं। इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है सदिशों का रैखिक संयोजनए 1, ..., ए एन। संख्याएँ α i, i = 1, n, दर्शाती हैं रैखिक संयोजन गुणांक. सदिशों के समुच्चय को भी कहा जाता है वैक्टर की प्रणाली.

सदिशों के रैखिक संयोजन की प्रस्तुत अवधारणा के संबंध में, सदिशों के एक सेट का वर्णन करने में समस्या उत्पन्न होती है जिसे सदिशों की दी गई प्रणाली a 1, ..., a n के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। इसके अलावा, उन स्थितियों के बारे में स्वाभाविक प्रश्न हैं जिनके तहत एक रैखिक संयोजन के रूप में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व होता है, और ऐसे प्रतिनिधित्व की विशिष्टता के बारे में।

परिभाषा 2.1.सदिश a 1, ..., और n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि गुणांकों का एक सेट है α 1 , ... , α n ऐसा है कि

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

और इनमें से कम से कम एक गुणांक गैर-शून्य है। यदि गुणांकों का निर्दिष्ट सेट मौजूद नहीं है, तो वैक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र.

यदि α 1 = ... = α n = 0, तो, जाहिर है, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. इसे ध्यान में रखते हुए, हम यह कह सकते हैं: वैक्टर a 1, ..., और n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि समानता (2.2) से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी गुणांक α 1 , ... , α n शून्य के बराबर हैं।

निम्नलिखित प्रमेय बताता है कि नई अवधारणा को "निर्भरता" (या "स्वतंत्रता") शब्द क्यों कहा जाता है, और रैखिक निर्भरता के लिए एक सरल मानदंड प्रदान करता है।

प्रमेय 2.1.सदिशों a 1, ..., और n, n > 1 के रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनमें से एक अन्य का रैखिक संयोजन हो।

◄आवश्यकता. आइए मान लें कि सदिश a 1, ..., और n रैखिक रूप से निर्भर हैं। रैखिक निर्भरता की परिभाषा 2.1 के अनुसार, बाईं ओर समानता (2.2) में कम से कम एक गैर-शून्य गुणांक है, उदाहरण के लिए α 1। पहले पद को समानता के बाईं ओर छोड़कर, हम बाकी को हमेशा की तरह, उनके चिह्न बदलते हुए, दाईं ओर ले जाते हैं। परिणामी समानता को α 1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

ए 1 =-α 2 /α 1 ⋅ ए 2 - ... - α एन /α 1 ⋅ ए एन

वे। शेष सदिशों a 2, ..., a n के रैखिक संयोजन के रूप में सदिश a 1 का निरूपण।

पर्याप्तता. उदाहरण के लिए, पहले वेक्टर a 1 को शेष वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n। सभी पदों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करने पर, हमें 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 प्राप्त होता है, अर्थात। वैक्टर का एक रैखिक संयोजन a 1, ..., a n गुणांक α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, के बराबर शून्य वेक्टर.इस रैखिक संयोजन में, सभी गुणांक शून्य नहीं हैं। परिभाषा 2.1 के अनुसार, सदिश a 1, ..., और n रैखिक रूप से निर्भर हैं।

रैखिक निर्भरता की परिभाषा और मानदंड दो या दो से अधिक वैक्टर की उपस्थिति का संकेत देने के लिए तैयार किए गए हैं। हालाँकि, हम एक वेक्टर की रैखिक निर्भरता के बारे में भी बात कर सकते हैं। इस संभावना को समझने के लिए, "वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं" के बजाय, आपको यह कहना होगा कि "वेक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।" यह देखना आसान है कि अभिव्यक्ति "एक वेक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है" का अर्थ है कि यह एकल वेक्टर शून्य है (एक रैखिक संयोजन में केवल एक गुणांक होता है, और यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए)।

रैखिक निर्भरता की अवधारणा की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है। निम्नलिखित तीन कथन इस व्याख्या को स्पष्ट करते हैं।

प्रमेय 2.2.दो सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं यदि और केवल यदि वे संरेख.

◄ यदि सदिश a और b रैखिक रूप से आश्रित हैं, तो उनमें से एक, उदाहरण के लिए a, दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, अर्थात। किसी वास्तविक संख्या λ के लिए a = λb। परिभाषा 1.7 के अनुसार काम करता हैप्रति संख्या सदिश, सदिश a और b संरेख हैं।

मान लीजिए कि अब सदिश a और b संरेख हैं। यदि वे दोनों शून्य हैं, तो यह स्पष्ट है कि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर है। मान लीजिए कि इनमें से एक वेक्टर 0 के बराबर नहीं है, उदाहरण के लिए वेक्टर बी। आइए हम सदिश लंबाई के अनुपात को λ से निरूपित करें: λ = |a|/|b| संरेख सदिश हो सकते हैं दिशाहीनया विपरीत दिशा में निर्देशित. बाद वाले मामले में, हम λ का चिह्न बदलते हैं। फिर, परिभाषा 1.7 की जाँच करते हुए, हम आश्वस्त हैं कि a = λb। प्रमेय 2.1 के अनुसार, सदिश a और b रैखिक रूप से निर्भर हैं।

टिप्पणी 2.1.दो सदिशों के मामले में, रैखिक निर्भरता की कसौटी को ध्यान में रखते हुए, सिद्ध प्रमेय को निम्नानुसार पुन: तैयार किया जा सकता है: दो सदिश संरेख होते हैं यदि और केवल तभी जब उनमें से एक को किसी संख्या द्वारा दूसरे के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। यह दो सदिशों की संरेखता के लिए एक सुविधाजनक मानदंड है।

प्रमेय 2.3.तीन सदिश रैखिकतः आश्रित हैं यदि और केवल यदि वे समतलीय.

◄ यदि तीन सदिश a, b, c रैखिक रूप से आश्रित हैं, तो, प्रमेय 2.1 के अनुसार, उनमें से एक, उदाहरण के लिए a, अन्य का एक रैखिक संयोजन है: a = βb + γc। आइए हम सदिशों b और c के मूलों को बिंदु A पर संयोजित करें। फिर सदिशों βb, γс का बिंदु A पर और साथ में एक उभयनिष्ठ मूल होगा समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार उनका योग हैवे। वेक्टर a मूल A और वाला एक वेक्टर होगा अंत, जो घटक सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का शीर्ष है। इस प्रकार, सभी सदिश एक ही समतल अर्थात् समतलीय में स्थित होते हैं।

मान लीजिए सदिश a, b, c समतलीय हैं। यदि इनमें से एक वेक्टर शून्य है, तो यह स्पष्ट है कि यह अन्य का एक रैखिक संयोजन होगा। यह एक रैखिक संयोजन के सभी गुणांकों को शून्य के बराबर लेने के लिए पर्याप्त है। इसलिए, हम मान सकते हैं कि तीनों सदिश शून्य नहीं हैं। अनुकूल शुरू कर दियाये सदिश एक उभयनिष्ठ बिंदु O पर हैं। मान लीजिए कि उनके सिरे क्रमशः बिंदु A, B, C हैं (चित्र 2.1)। बिंदु C से होकर हम बिंदु O, A और O, B के जोड़े से गुजरने वाली रेखाओं के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को A" और B" के रूप में निर्दिष्ट करते हुए, हमें एक समांतर चतुर्भुज OA"CB" प्राप्त होता है, इसलिए, OC" = OA" + OB"। वेक्टर OA" और गैर-शून्य वेक्टर a = OA संरेख हैं, और इसलिए उनमें से पहला दूसरे को वास्तविक संख्या α:OA" = αOA से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। इसी तरह, OB" = βOB, β ∈ R. परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है कि OC" = α OA. + βOB, यानी वेक्टर c, वैक्टर a और b का एक रैखिक संयोजन है। प्रमेय 2.1 के अनुसार, वैक्टर a, b, c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

प्रमेय 2.4.कोई भी चार सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

◄ हम प्रमेय 2.3 की समान योजना के अनुसार प्रमाण देते हैं। मनमाने ढंग से चार वैक्टर ए, बी, सी और डी पर विचार करें। यदि चार सदिशों में से एक शून्य है, या उनमें से दो संरेख सदिश हैं, या चार सदिशों में से तीन समतलीय हैं, तो ये चार सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं। उदाहरण के लिए, यदि सदिश a और b संरेख हैं, तो हम उनके रैखिक संयोजन αa + βb = 0 को गैर-शून्य गुणांक के साथ बना सकते हैं, और फिर शून्य को गुणांक के रूप में लेते हुए, इस संयोजन में शेष दो सदिश जोड़ सकते हैं। हमें 0 के बराबर चार सदिशों का एक रैखिक संयोजन प्राप्त होता है, जिसमें गैर-शून्य गुणांक होते हैं।

इस प्रकार, हम मान सकते हैं कि चयनित चार वैक्टरों में से कोई भी वेक्टर शून्य नहीं है, कोई भी दो संरेख नहीं हैं, और कोई भी तीन समतलीय नहीं हैं। आइए बिंदु O को उनकी सामान्य शुरुआत के रूप में चुनें, फिर वैक्टर a, b, c, d के सिरे कुछ बिंदु A, B, C, D होंगे (चित्र 2.2)। बिंदु D के माध्यम से हम समतल BC, OCA, OAB के समानांतर तीन समतल बनाते हैं और क्रमशः A", B", C" को सीधी रेखाओं OA, OB, OS के साथ इन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु मानते हैं। हमें एक समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है। OA" C "B" C" B"DA", और सदिश a, b, c शीर्ष O से निकलने वाले इसके किनारों पर स्थित हैं। चूँकि चतुर्भुज OC"DC" एक समांतर चतुर्भुज है, तो OD = OC" + OC" बदले में, खंड OC" एक विकर्ण है। समांतर चतुर्भुज OA"C"B", इसलिए OC" = OA" + OB" और OD = OA" + OB" + OC" ।

यह ध्यान रखना बाकी है कि वैक्टर OA ≠ 0 और OA" , OB ≠ 0 और OB" , OC ≠ 0 और OC" के जोड़े संरेख हैं, और इसलिए, गुणांक α, β, γ का चयन करना संभव है ताकि OA" = αOA , OB" = βOB और OC" = γOC. अंततः हमें OD = αOA + βOB + γOC प्राप्त होता है। नतीजतन, OD वेक्टर को अन्य तीन वैक्टर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, और प्रमेय 2.1 के अनुसार, सभी चार वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता।
सदिशों का आधार. एफ़िन समन्वय प्रणाली

सभागार में चॉकलेटों से भरी एक गाड़ी है, और आज प्रत्येक आगंतुक को एक प्यारी जोड़ी मिलेगी - रैखिक बीजगणित के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति। यह आलेख एक साथ उच्च गणित के दो खंडों को स्पर्श करेगा, और हम देखेंगे कि वे एक आवरण में कैसे सह-अस्तित्व में हैं। एक ब्रेक लें, एक ट्विक्स खाएं! ...धिक्कार है, कितनी बकवास है। हालाँकि, ठीक है, मैं स्कोर नहीं करूँगा, अंत में, आपको पढ़ाई के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण रखना चाहिए।

सदिशों की रैखिक निर्भरता, रैखिक वेक्टर स्वतंत्रता, वैक्टर का आधारऔर अन्य शब्दों की न केवल ज्यामितीय व्याख्या होती है, बल्कि सबसे बढ़कर, बीजगणितीय अर्थ होता है। रैखिक बीजगणित के दृष्टिकोण से "वेक्टर" की अवधारणा हमेशा "सामान्य" वेक्टर नहीं होती है जिसे हम किसी समतल या अंतरिक्ष में चित्रित कर सकते हैं। आपको प्रमाण के लिए दूर तक देखने की ज़रूरत नहीं है, पाँच-आयामी अंतरिक्ष का एक वेक्टर बनाने का प्रयास करें . या मौसम वेक्टर, जिसके लिए मैं अभी-अभी Gismeteo गया था: क्रमशः तापमान और वायुमंडलीय दबाव। उदाहरण, निश्चित रूप से, वेक्टर स्पेस के गुणों के दृष्टिकोण से गलत है, लेकिन, फिर भी, कोई भी इन मापदंडों को वेक्टर के रूप में औपचारिक रूप देने से मना नहीं करता है। शरद ऋतु की साँसें...

नहीं, मैं आपको सिद्धांत, रैखिक सदिश समष्टि से बोर नहीं करने जा रहा हूँ, कार्य यह है समझनापरिभाषाएँ और प्रमेय. नए शब्द (रैखिक निर्भरता, स्वतंत्रता, रैखिक संयोजन, आधार, आदि) बीजगणितीय दृष्टिकोण से सभी वैक्टरों पर लागू होते हैं, लेकिन ज्यामितीय उदाहरण दिए जाएंगे। इस प्रकार, सब कुछ सरल, सुलभ और स्पष्ट है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के अलावा, हम कुछ विशिष्ट बीजगणित समस्याओं पर भी विचार करेंगे। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, अपने आप को पाठों से परिचित कराने की सलाह दी जाती है डमी के लिए वेक्टरऔर निर्धारक की गणना कैसे करें?

समतल सदिशों की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
समतल आधार और एफ़िन समन्वय प्रणाली

आइए आपके कंप्यूटर डेस्क के तल पर विचार करें (सिर्फ एक मेज, बेडसाइड टेबल, फर्श, छत, जो भी आपको पसंद हो)। कार्य में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल होंगी:

1) समतल आधार का चयन करें. मोटे तौर पर कहें तो, एक टेबलटॉप की लंबाई और चौड़ाई होती है, इसलिए यह सहज है कि आधार बनाने के लिए दो वैक्टर की आवश्यकता होगी। एक वेक्टर स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं है, तीन वेक्टर बहुत अधिक हैं।

2) चयनित आधार पर समन्वय प्रणाली सेट करें(समन्वय ग्रिड) मेज पर सभी वस्तुओं को निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए।

चौंकिए मत, पहले स्पष्टीकरण उंगलियों पर होंगे। इसके अलावा, आप पर. कृपया स्थान दें बायीं तर्जनीटेबलटॉप के किनारे पर ताकि वह मॉनिटर को देख सके। यह एक वेक्टर होगा. अब जगह दाहिनी छोटी उंगलीउसी तरह टेबल के किनारे पर - ताकि वह मॉनिटर स्क्रीन की ओर निर्देशित हो। यह एक वेक्टर होगा. मुस्कुराओ, तुम बहुत अच्छे लग रहे हो! हम सदिशों के बारे में क्या कह सकते हैं? डेटा वैक्टर समरेख, मतलब रेखीयएक दूसरे के माध्यम से व्यक्त:
, ठीक है, या इसके विपरीत: , कुछ संख्या शून्य से भिन्न कहां है।

आप कक्षा में इस क्रिया की तस्वीर देख सकते हैं। डमी के लिए वेक्टर, जहां मैंने एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करने का नियम समझाया।

क्या आपकी उंगलियाँ कंप्यूटर डेस्क के तल पर आधार स्थापित करेंगी? स्पष्टः नहीं। संरेख सदिश आगे और पीछे यात्रा करते हैं अकेलादिशा, और एक विमान की लंबाई और चौड़ाई होती है।

ऐसे वेक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर.

संदर्भ: शब्द "रैखिक", "रैखिक" इस तथ्य को दर्शाते हैं कि गणितीय समीकरणों और अभिव्यक्तियों में कोई वर्ग, घन, अन्य घात, लघुगणक, ज्या आदि नहीं हैं। केवल रैखिक (प्रथम डिग्री) अभिव्यक्तियाँ और निर्भरताएँ हैं।

दो समतल सदिश रैखिक रूप से निर्भरयदि और केवल यदि वे संरेख हैं.

अपनी उंगलियों को मेज पर क्रॉस करें ताकि उनके बीच 0 या 180 डिग्री के अलावा कोई कोण हो। दो समतल सदिशरेखीय नहींआश्रित यदि और केवल यदि वे संरेख नहीं हैं. तो, आधार प्राप्त होता है. शर्मिंदा होने की कोई जरूरत नहीं है कि आधार अलग-अलग लंबाई के गैर-लंबवत वैक्टर के साथ "तिरछा" निकला। बहुत जल्द हम देखेंगे कि इसके निर्माण के लिए न केवल 90 डिग्री का कोण उपयुक्त है, और न केवल समान लंबाई के इकाई वैक्टर

कोईसमतल सदिश एकमात्र रास्ताआधार के अनुसार विस्तारित किया गया है:
, वास्तविक संख्याएँ कहाँ हैं। नंबरों को बुलाया जाता है वेक्टर निर्देशांकइस आधार पर.

ऐसा भी कहा जाता है वेक्टरके रूप में प्रस्तुत किया गया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर. अर्थात् अभिव्यक्ति कहलाती है वेक्टर अपघटनआधार सेया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि वेक्टर को समतल के लम्बवत् आधार पर विघटित किया जाता है, या हम कह सकते हैं कि इसे वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है।

आइए सूत्रबद्ध करें आधार की परिभाषाऔपचारिक रूप से: विमान का आधाररैखिकतः स्वतंत्र (असंरेखीय) सदिशों का युग्म कहलाता है, , जबकि कोईएक समतल सदिश आधार सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

परिभाषा का एक आवश्यक बिंदु यह तथ्य है कि सदिशों को लिया जाता है एक निश्चित क्रम में. अड्डों - ये दो पूरी तरह से अलग आधार हैं! जैसा कि वे कहते हैं, आप अपने दाहिने हाथ की छोटी उंगली के स्थान पर अपने बाएं हाथ की छोटी उंगली को नहीं बदल सकते।

हमने आधार का पता लगा लिया है, लेकिन एक समन्वय ग्रिड सेट करना और आपके कंप्यूटर डेस्क पर प्रत्येक आइटम के लिए निर्देशांक निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यह पर्याप्त क्यों नहीं है? वेक्टर स्वतंत्र हैं और पूरे विमान में घूमते हैं। तो आप मेज़ पर एक जंगली सप्ताहांत के बाद बचे उन छोटे गंदे स्थानों के लिए निर्देशांक कैसे निर्दिष्ट करते हैं? एक आरंभिक बिंदु की आवश्यकता है. और ऐसा मील का पत्थर हर किसी से परिचित एक बिंदु है - निर्देशांक की उत्पत्ति। आइए समन्वय प्रणाली को समझें:

मैं "स्कूल" प्रणाली से शुरुआत करूँगा। पहले से ही परिचयात्मक पाठ में डमी के लिए वेक्टरमैंने आयताकार समन्वय प्रणाली और लंबात्मक आधार के बीच कुछ अंतरों पर प्रकाश डाला। यहाँ मानक चित्र है:

जब वे बात करते हैं आयताकार समन्वय प्रणाली, तो अक्सर उनका मतलब मूल, समन्वय अक्ष और अक्षों के साथ पैमाने से होता है। एक खोज इंजन में "आयताकार समन्वय प्रणाली" टाइप करने का प्रयास करें, और आप देखेंगे कि कई स्रोत आपको 5वीं-6वीं कक्षा से परिचित समन्वय अक्षों के बारे में बताएंगे और एक विमान पर बिंदुओं को कैसे प्लॉट करें।

दूसरी ओर, ऐसा लगता है कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली को पूरी तरह से ऑर्थोनॉर्मल आधार के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। और यह लगभग सच है. शब्दांकन इस प्रकार है:

मूल, और ऑर्थोनॉर्मलआधार तय हो गया है कार्तीय आयताकार समतल समन्वय प्रणाली . अर्थात् आयताकार समन्वय प्रणाली निश्चित रूप सेएक एकल बिंदु और दो इकाई ऑर्थोगोनल वैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है। इसीलिए आप वह चित्र देखते हैं जो मैंने ऊपर दिया है - ज्यामितीय समस्याओं में, सदिश और निर्देशांक अक्ष दोनों अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) खींचे जाते हैं।

मुझे लगता है कि हर कोई इसे एक बिंदु (उत्पत्ति) और एक लंबात्मक आधार का उपयोग करके समझता है समतल पर कोई भी बिंदु और समतल पर कोई भी वेक्टरनिर्देशांक निर्दिष्ट किये जा सकते हैं। लाक्षणिक रूप से कहें तो, "हवाई जहाज़ पर हर चीज़ को क्रमांकित किया जा सकता है।"

क्या निर्देशांक सदिशों का इकाई होना आवश्यक है? नहीं, उनकी मनमानी गैर-शून्य लंबाई हो सकती है। एक बिंदु और मनमानी गैर-शून्य लंबाई के दो ऑर्थोगोनल वैक्टर पर विचार करें:

ऐसा आधार कहा जाता है ओर्थोगोनल. सदिशों के साथ निर्देशांक की उत्पत्ति एक समन्वय ग्रिड द्वारा परिभाषित की जाती है, और समतल पर किसी भी बिंदु पर, किसी भी सदिश के निर्देशांक एक दिए गए आधार पर होते हैं। उदाहरण के लिए, या. स्पष्ट असुविधा यह है कि निर्देशांक सदिश सामान्य मामले मेंएकता के अलावा अलग-अलग लंबाई होती है। यदि लंबाई एकता के बराबर है, तो सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है।

! टिप्पणी : ऑर्थोगोनल आधार में, साथ ही नीचे समतल और स्थान के एफ़िन आधारों में, अक्षों के अनुदिश इकाइयों पर विचार किया जाता है सशर्त. उदाहरण के लिए, एक्स-अक्ष के साथ एक इकाई में 4 सेमी होता है, कोटि अक्ष के साथ एक इकाई में 2 सेमी होता है। यह जानकारी, यदि आवश्यक हो, "गैर-मानक" निर्देशांक को "हमारे सामान्य सेंटीमीटर" में बदलने के लिए पर्याप्त है।

और दूसरा प्रश्न, जिसका उत्तर वास्तव में पहले ही दिया जा चुका है, वह यह है कि क्या आधार सदिशों के बीच का कोण 90 डिग्री के बराबर होना चाहिए? नहीं! जैसा कि परिभाषा में कहा गया है, आधार वैक्टर होना चाहिए केवल असंरेखीय. तदनुसार, कोण 0 और 180 डिग्री को छोड़कर कुछ भी हो सकता है।

विमान पर एक बिंदु कहा जाता है मूल, और गैर समरेखवैक्टर, , तय करना एफ़िन विमान समन्वय प्रणाली :

कभी-कभी ऐसी समन्वय प्रणाली को कहा जाता है परोक्षप्रणाली। उदाहरण के तौर पर, चित्र बिंदु और वैक्टर दिखाता है:

जैसा कि आप समझते हैं, एफ़िन समन्वय प्रणाली और भी कम सुविधाजनक है; वैक्टर और खंडों की लंबाई के सूत्र, जिनकी हमने पाठ के दूसरे भाग में चर्चा की थी, इसमें काम नहीं करते हैं; डमी के लिए वेक्टर, से संबंधित कई स्वादिष्ट सूत्र सदिशों का अदिश गुणनफल. लेकिन सदिशों को जोड़ने और एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने के नियम, इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्र, साथ ही कुछ अन्य प्रकार की समस्याएं जिन पर हम जल्द ही विचार करेंगे, मान्य हैं।

और निष्कर्ष यह है कि एफ़िन समन्वय प्रणाली का सबसे सुविधाजनक विशेष मामला कार्टेशियन आयताकार प्रणाली है। यही कारण है कि तुम्हें अक्सर उसे देखना पड़ता है, मेरे प्रिय। ...हालाँकि, इस जीवन में सब कुछ सापेक्ष है - ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें एक तिरछा कोण (या कोई अन्य, उदाहरण के लिए, ध्रुवीय) निर्देशांक तरीका। और ह्यूमनॉइड्स को ऐसी प्रणालियाँ पसंद आ सकती हैं =)

चलिए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं। इस पाठ की सभी समस्याएं आयताकार समन्वय प्रणाली और सामान्य एफ़िन मामले दोनों के लिए मान्य हैं। यहां कुछ भी जटिल नहीं है, सारी सामग्री एक स्कूली बच्चे के लिए भी सुलभ है।

समतल सदिशों की संरेखता कैसे निर्धारित करें?

विशिष्ट बात. दो समतल सदिशों के क्रम में संरेख थे, इसलिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होंमूलतः, यह स्पष्ट संबंध का समन्वय-दर-समन्वय विवरण है।

उदाहरण 1

ए) जांचें कि क्या वेक्टर संरेख हैं .
ख) क्या सदिश आधार बनाते हैं? ?

समाधान:
ए) आइए जानें कि क्या वेक्टर के लिए कोई है आनुपातिकता गुणांक, जैसे कि समानताएं संतुष्ट हों:

मैं निश्चित रूप से आपको इस नियम को लागू करने के "फ़ॉपिश" संस्करण के बारे में बताऊंगा, जो व्यवहार में काफी अच्छा काम करता है। विचार यह है कि तुरंत अनुपात बनाया जाए और देखा जाए कि क्या यह सही है:

आइए सदिशों के संगत निर्देशांकों के अनुपातों से एक अनुपात बनाएं:

आइए छोटा करें:
, इस प्रकार संबंधित निर्देशांक आनुपातिक हैं, इसलिए,

संबंध को दूसरे ढंग से भी बनाया जा सकता है; यह एक समतुल्य विकल्प है:

आत्म-परीक्षण के लिए, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि संरेख सदिश एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त होते हैं। इस मामले में, समानताएं होती हैं . उनकी वैधता को वैक्टर के साथ प्राथमिक संचालन के माध्यम से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है:

बी) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेख (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। हम संरेखता के लिए सदिशों की जांच करते हैं . आइए एक सिस्टम बनाएं:

पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, दूसरे समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, जिसका अर्थ है प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं). इस प्रकार, सदिशों के संगत निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और एक आधार बनाते हैं।

समाधान का एक सरलीकृत संस्करण इस तरह दिखता है:

आइए सदिशों के संगत निर्देशांकों से एक अनुपात बनाएं :
, जिसका अर्थ है कि ये वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

आमतौर पर, इस विकल्प को समीक्षकों द्वारा अस्वीकार नहीं किया जाता है, लेकिन उन मामलों में समस्या उत्पन्न होती है जहां कुछ निर्देशांक शून्य के बराबर होते हैं। इस कदर: . या इस तरह: . या इस तरह: . यहां अनुपात के माध्यम से कैसे काम करें? (वास्तव में, आप शून्य से भाग नहीं दे सकते)। यही कारण है कि मैंने सरलीकृत समाधान को "फ़ॉपिश" कहा।

उत्तर:ए) , बी) फॉर्म।

आपके स्वयं के समाधान के लिए एक छोटा सा रचनात्मक उदाहरण:

उदाहरण 2

पैरामीटर के किस मान पर वेक्टर हैं क्या वे संरेख होंगे?

नमूना समाधान में, पैरामीटर अनुपात के माध्यम से पाया जाता है।

संरेखता के लिए सदिशों की जांच करने का एक शानदार बीजगणितीय तरीका है आइए अपने ज्ञान को व्यवस्थित करें और इसे पांचवें बिंदु के रूप में जोड़ें:

दो समतल सदिशों के लिए निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:

2) सदिश एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश संरेख नहीं हैं;

+5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक अशून्य है.

क्रमश, निम्नलिखित विपरीत कथन समतुल्य हैं:
1) सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं;
2) सदिश कोई आधार नहीं बनाते;
3) सदिश संरेख हैं;
4) सदिशों को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है;
+5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक शून्य के बराबर है.

मैं वास्तव में, वास्तव में आशा करता हूं कि अब तक आप अपने सामने आए सभी नियमों और कथनों को समझ चुके होंगे।

आइए नए, पांचवें बिंदु पर करीब से नज़र डालें: दो समतल सदिश संरेख हैं यदि और केवल यदि दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक शून्य के बराबर है:. इस सुविधा को लागू करने के लिए, निश्चित रूप से, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है निर्धारक खोजें.

आइये निर्णय करेंदूसरे तरीके से उदाहरण 1:

ए) आइए हम सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें :
, जिसका अर्थ है कि ये सदिश संरेख हैं।

बी) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेख (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। आइए सदिश निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें :
, जिसका अर्थ है कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

उत्तर:ए) , बी) फॉर्म।

यह अनुपात वाले समाधान की तुलना में कहीं अधिक कॉम्पैक्ट और सुंदर दिखता है।

विचाराधीन सामग्री की सहायता से न केवल सदिशों की संरेखता स्थापित करना संभव है, बल्कि खंडों और सीधी रेखाओं की समानता को भी सिद्ध करना संभव है। आइए विशिष्ट ज्यामितीय आकृतियों से जुड़ी कुछ समस्याओं पर विचार करें।

उदाहरण 3

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिये गये हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

सबूत: समस्या में रेखाचित्र बनाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि समाधान पूर्णतः विश्लेषणात्मक होगा। आइए समांतर चतुर्भुज की परिभाषा को याद करें:
चतुर्भुज वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समान्तर हों, कहलाता है।

इस प्रकार, यह साबित करना आवश्यक है:
1) विपरीत भुजाओं की समानता और;
2) विपरीत भुजाओं की समानता और।

हम साबित करते हैं:

1) सदिश खोजें:

2) सदिश खोजें:

परिणाम एक ही वेक्टर है ("स्कूल के अनुसार" - समान वैक्टर)। संरेखता काफी स्पष्ट है, लेकिन व्यवस्था के साथ निर्णय को स्पष्ट रूप से औपचारिक बनाना बेहतर है। आइए वेक्टर निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि ये सदिश संरेख हैं, और।

निष्कर्ष: किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं, जिसका अर्थ है कि परिभाषा के अनुसार यह एक समांतर चतुर्भुज है। क्यू.ई.डी.

अधिक अच्छे और अलग आंकड़े:

उदाहरण 4

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिये गये हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है।

प्रमाण के अधिक कठोर सूत्रीकरण के लिए, निश्चित रूप से, एक ट्रेपेज़ॉइड की परिभाषा प्राप्त करना बेहतर है, लेकिन यह याद रखना पर्याप्त है कि यह कैसा दिखता है।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का कार्य है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान।

और अब धीरे-धीरे विमान से अंतरिक्ष में जाने का समय आ गया है:

अंतरिक्ष सदिशों की संरेखता कैसे निर्धारित करें?

नियम बहुत समान है. दो अंतरिक्ष सदिशों के संरेख होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक हों.

उदाहरण 5

पता लगाएँ कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:

ए) ;
बी)
वी)

समाधान:
ए) आइए जांचें कि क्या वैक्टर के संबंधित निर्देशांक के लिए आनुपातिकता का गुणांक है:

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर संरेख नहीं हैं।

अनुपात की जाँच करके "सरलीकृत" को औपचारिक रूप दिया जाता है। इस मामले में:
- संगत निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख नहीं हैं।

उत्तर:सदिश संरेख नहीं हैं.

ख-ग) ये स्वतंत्र निर्णय के बिंदु हैं। इसे दो तरीकों से आज़माएं.

तीसरे क्रम के निर्धारक के माध्यम से संरेखता के लिए स्थानिक वैक्टर की जांच करने की एक विधि है, यह विधि लेख में शामिल है; सदिशों का सदिश गुणनफल.

समतल मामले के समान, विचारित उपकरणों का उपयोग स्थानिक खंडों और सीधी रेखाओं की समानता का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरे खंड में आपका स्वागत है:

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
स्थानिक आधार और एफ़िन समन्वय प्रणाली

हमने विमान पर जिन पैटर्नों की जांच की उनमें से कई पैटर्न अंतरिक्ष के लिए भी मान्य होंगे। मैंने सिद्धांत नोट्स को छोटा करने की कोशिश की, क्योंकि जानकारी का बड़ा हिस्सा पहले ही चबाया जा चुका है। हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप परिचयात्मक भाग को ध्यान से पढ़ें, क्योंकि नए नियम और अवधारणाएँ सामने आएंगी।

अब, कंप्यूटर डेस्क के समतल के बजाय, हम त्रि-आयामी स्थान का पता लगाते हैं। सबसे पहले, आइए इसका आधार बनाएं। कोई अभी घर के अंदर है, कोई बाहर है, लेकिन किसी भी स्थिति में, हम तीन आयामों से बच नहीं सकते: चौड़ाई, लंबाई और ऊंचाई। इसलिए, आधार बनाने के लिए तीन स्थानिक वैक्टर की आवश्यकता होगी। एक या दो वेक्टर पर्याप्त नहीं हैं, चौथा अतिश्योक्तिपूर्ण है।

और फिर से हम अपनी उंगलियों पर गर्म होते हैं। कृपया अपना हाथ ऊपर उठाएं और अलग-अलग दिशाओं में फैलाएं अंगूठा, तर्जनी और मध्यमा. ये सदिश होंगे, वे अलग-अलग दिशाओं में देखते हैं, उनकी लंबाई अलग-अलग होती है और उनके बीच अलग-अलग कोण होते हैं। बधाई हो, त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार तैयार है! वैसे, शिक्षकों को इसे प्रदर्शित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, चाहे आप कितनी भी उंगलियां घुमा लें, लेकिन परिभाषाओं से कोई बच नहीं सकता =)

आगे, आइए अपने आप से एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछें: क्या कोई तीन सदिश त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं?? कृपया कंप्यूटर डेस्क के शीर्ष पर तीन अंगुलियों को मजबूती से दबाएं। क्या हुआ? तीन वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं, और, मोटे तौर पर बोलते हुए, हमने आयामों में से एक खो दिया है - ऊंचाई। ऐसे वेक्टर हैं समतलीयऔर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार नहीं बनाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समतलीय सदिशों को एक ही तल में स्थित होने की आवश्यकता नहीं है, वे समानांतर तलों में हो सकते हैं (बस अपनी उंगलियों से ऐसा न करें, केवल साल्वाडोर डाली ने ऐसा किया =))।

परिभाषा:वेक्टर कहलाते हैं समतलीय, यदि कोई ऐसा तल है जिसके वे समानांतर हैं। यहां यह जोड़ना तर्कसंगत है कि यदि ऐसा कोई समतल मौजूद नहीं है, तो सदिश समतलीय नहीं होंगे।

तीन समतलीय सदिश सदैव रैखिकतः आश्रित होते हैं, अर्थात्, वे एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त होते हैं। सरलता के लिए, आइए हम फिर से कल्पना करें कि वे एक ही तल में हैं। सबसे पहले, सदिश न केवल समतलीय होते हैं, वे संरेख भी हो सकते हैं, फिर किसी भी सदिश को किसी भी सदिश के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे मामले में, उदाहरण के लिए, यदि सदिश संरेख नहीं हैं, तो तीसरे सदिश को उनके माध्यम से एक अनूठे तरीके से व्यक्त किया जाता है: (और पिछले अनुभाग की सामग्रियों से इसका अनुमान लगाना आसान क्यों है)।

इसका उलटा भी सच है: तीन गैर-समतलीय सदिश हमेशा रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, अर्थात्, वे किसी भी तरह से एक दूसरे के माध्यम से व्यक्त नहीं होते हैं। और, जाहिर है, केवल ऐसे वैक्टर ही त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बन सकते हैं।

परिभाषा: त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधाररैखिकतः स्वतंत्र (गैर-समतलीय) सदिशों का त्रिक कहा जाता है, एक निश्चित क्रम में लिया गया, और अंतरिक्ष का कोई भी वेक्टर एकमात्र रास्ताकिसी दिए गए आधार पर विघटित किया जाता है, इस आधार पर वेक्टर के निर्देशांक कहां हैं

मैं आपको याद दिला दूं कि हम यह भी कह सकते हैं कि वेक्टर को फॉर्म में दर्शाया जाता है रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा बिल्कुल उसी तरह पेश की जाती है जैसे समतल मामले के लिए एक बिंदु और कोई भी तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर पर्याप्त होते हैं:

मूल, और गैर समतलीयवैक्टर, एक निश्चित क्रम में लिया गया, तय करना त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एफ़िन समन्वय प्रणाली :

बेशक, समन्वय ग्रिड "तिरछा" और असुविधाजनक है, लेकिन, फिर भी, निर्मित समन्वय प्रणाली हमें इसकी अनुमति देती है निश्चित रूप सेकिसी भी वेक्टर के निर्देशांक और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें। समतल के समान, कुछ सूत्र जिनका मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अंतरिक्ष की एफ़िन समन्वय प्रणाली में काम नहीं करेंगे।

जैसा कि सभी का अनुमान है, एफ़िन समन्वय प्रणाली का सबसे परिचित और सुविधाजनक विशेष मामला है आयताकार अंतरिक्ष समन्वय प्रणाली:

अंतरिक्ष में एक बिंदु कहा जाता है मूल, और ऑर्थोनॉर्मलआधार तय हो गया है कार्टेशियन आयताकार अंतरिक्ष समन्वय प्रणाली . परिचित चित्र:

व्यावहारिक कार्यों पर आगे बढ़ने से पहले, आइए फिर से जानकारी को व्यवस्थित करें:

तीन अंतरिक्ष सदिशों के लिए निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
1) सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं;
2) सदिश एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश समतलीय नहीं हैं;
4) सदिशों को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता;
5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक, शून्य से भिन्न है।

मुझे लगता है कि विपरीत कथन समझ में आते हैं।

अंतरिक्ष वैक्टर की रैखिक निर्भरता/स्वतंत्रता को पारंपरिक रूप से एक निर्धारक (बिंदु 5) का उपयोग करके जांचा जाता है। शेष व्यावहारिक कार्य स्पष्ट रूप से बीजगणितीय प्रकृति के होंगे। अब ज्यामिति की छड़ी को लटकाने और रैखिक बीजगणित के बेसबॉल बैट को चलाने का समय आ गया है:

अंतरिक्ष के तीन सदिशसमतलीय हैं यदि और केवल यदि दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक शून्य के बराबर है: .

मैं आपका ध्यान एक छोटी तकनीकी बारीकियों की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: वैक्टर के निर्देशांक न केवल स्तंभों में, बल्कि पंक्तियों में भी लिखे जा सकते हैं (इससे निर्धारक का मान नहीं बदलेगा - निर्धारकों के गुण देखें)। लेकिन यह कॉलम में बहुत बेहतर है, क्योंकि यह कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए अधिक फायदेमंद है।

उन पाठकों के लिए जो निर्धारकों की गणना करने की विधियों को थोड़ा भूल गए हैं, या शायद उनकी बिल्कुल भी कम समझ रखते हैं, मैं अपने सबसे पुराने पाठों में से एक की अनुशंसा करता हूं: निर्धारक की गणना कैसे करें?

उदाहरण 6

जांचें कि क्या निम्नलिखित वेक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं:

समाधान: वास्तव में, संपूर्ण समाधान निर्धारक की गणना करने के लिए नीचे आता है।

ए) आइए हम सदिशों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें (निर्धारक पहली पंक्ति में प्रकट होता है):

, जिसका अर्थ है कि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (समतलीय नहीं) और त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं।

उत्तर: ये वैक्टर एक आधार बनाते हैं

बी) यह स्वतंत्र निर्णय का बिंदु है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

रचनात्मक कार्य भी हैं:

उदाहरण 7

पैरामीटर के किस मान पर सदिश समतलीय होंगे?

समाधान: सदिश समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि इन सदिशों के निर्देशांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर हो:

मूलतः, आपको एक सारणिक वाले समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। हम जेरोबा पर पतंग की तरह शून्य पर झपटते हैं - दूसरी पंक्ति में निर्धारक को खोलना और तुरंत माइनस से छुटकारा पाना सबसे अच्छा है:

हम और सरलीकरण करते हैं और मामले को सरलतम रैखिक समीकरण में लाते हैं:

उत्तर: पर

यहां जांच करना आसान है; ऐसा करने के लिए, आपको परिणामी मान को मूल निर्धारक में प्रतिस्थापित करना होगा और सुनिश्चित करना होगा , इसे फिर से खोलना।

अंत में, आइए एक और विशिष्ट समस्या पर नजर डालें, जो प्रकृति में अधिक बीजगणितीय है और पारंपरिक रूप से एक रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम में शामिल है। यह इतना सामान्य है कि इसका अपना विषय होना चाहिए:

सिद्ध करें कि 3 सदिश त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं
और इस आधार पर चौथे वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें

उदाहरण 8

वेक्टर दिए गए हैं. दिखाएँ कि सदिश त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं और इस आधार पर सदिश के निर्देशांक ज्ञात करते हैं।

समाधान: सबसे पहले, आइए स्थिति से निपटें। शर्त के अनुसार, चार वेक्टर दिए गए हैं, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, उनके पास पहले से ही कुछ आधारों पर निर्देशांक हैं। यह आधार क्या है, इसमें हमारी रुचि नहीं है। और निम्नलिखित बात दिलचस्प है: तीन वैक्टर एक नया आधार बना सकते हैं। और पहला चरण पूरी तरह से उदाहरण 6 के समाधान से मेल खाता है, यह जांचना आवश्यक है कि क्या वेक्टर वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं:

आइए वेक्टर निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:

, जिसका अर्थ है कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं।

! महत्वपूर्ण : वेक्टर निर्देशांक अनिवार्य रूप सेलिखो स्तंभों मेंनिर्धारक, तारों में नहीं. अन्यथा, आगे के समाधान एल्गोरिदम में भ्रम होगा।

वेक्टर प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से निर्भर, यदि ऐसी संख्याएँ हैं जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, जैसे कि समानता https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width='57' ऊँचाई='24 src= " >.

यदि यह समानता केवल उस स्थिति में संतुष्ट होती है जब सभी, तब सदिशों की प्रणाली कहलाती है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय.वेक्टर प्रणाली होगी रैखिक रूप से निर्भरयदि और केवल यदि इसका कम से कम एक वेक्टर अन्य का रैखिक संयोजन है।

उदाहरण 1.बहुपद बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width='88 ऊंचाई=24' ऊंचाई='24'>. बहुपद एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का गठन करते हैं, क्योंकि बहुपद https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif' width='129' ऊंचाई='24'>.

उदाहरण 2.मैट्रिक्स प्रणाली, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width='51' ऊंचाई='48 src='> रैखिक रूप से स्वतंत्र है, क्योंकि एक रैखिक संयोजन के बराबर है शून्य मैट्रिक्स केवल उस स्थिति में जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif' width='69' ऊंचाई='21'>, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width='40' ऊंचाई='21'> रैखिक रूप से निर्भर।

समाधान।

आइए इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन बनाएं https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width=”97″ ऊंचाई=”24”>=0..gif” width=”360” ऊंचाई='22'>.

समान सदिशों के समान निर्देशांकों की बराबरी करने पर, हमें https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" ऊंचाई="69"> मिलता है

अंततः हम पाते हैं

और

सिस्टम में एक अद्वितीय तुच्छ समाधान है, इसलिए इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन केवल उस स्थिति में शून्य के बराबर होता है जब सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं। इसलिए, सदिशों की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उदाहरण 4.सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। वेक्टर सिस्टम कैसा होगा?

ए)।;

बी)।?

समाधान।

ए)।आइए एक रैखिक संयोजन बनाएं और इसे शून्य के बराबर करें

रैखिक अंतरिक्ष में वैक्टर के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम फॉर्म में अंतिम समानता को फिर से लिखते हैं

चूँकि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, इसलिए गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात..gif' width='12' ऊँचाई='23 src='>

समीकरणों की परिणामी प्रणाली में एक अद्वितीय तुच्छ समाधान होता है .

समानता के बाद से (*) केवल तभी निष्पादित किया जाता है जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width='115 ऊंचाई=20' ऊंचाई='20'> - रैखिक रूप से स्वतंत्र;

बी)।आइए एक समानता बनाएं https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width=”265” ऊंचाई=”24 src=”> (**)

समान तर्क लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या

बाद वाली प्रणाली में समाधानों की अनंत संख्या है https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width='149' ऊंचाई='24 src='>. इस प्रकार, एक गैर है- गुणांकों का शून्य सेट जिसके लिए समानता रखता है (**) . इसलिए, वैक्टर की प्रणाली – रैखिक रूप से निर्भर.

उदाहरण 5सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है, और सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है..gif" width=”80” ऊँचाई=”24”>.gif” width=”149 ऊँचाई=24” ऊँचाई=”24”> (***)

समानता में (***) . दरअसल, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होगा।

रिश्ते से (***) हम पाते हैं या चलो निरूपित करें .

हम पाते हैं

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएं (कक्षा में)

1. शून्य वेक्टर वाला सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होता है।

2. एक वेक्टर से युक्त प्रणाली ए, रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि, ए=0.

3. दो सदिशों से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि सदिश आनुपातिक हों (अर्थात, उनमें से एक को दूसरे से किसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है)।

4. यदि आप एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली में एक वेक्टर जोड़ते हैं, तो आपको एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली मिलती है।

5. यदि एक वेक्टर को रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली से हटा दिया जाता है, तो वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

6. यदि सिस्टम एसरैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन वेक्टर जोड़ने पर रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है बी, फिर वेक्टर बीसिस्टम वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया गया एस.

सी)।आव्यूहों की प्रणाली, दूसरे क्रम के आव्यूहों के स्थान पर।

10. चलो वैक्टर की प्रणाली ए,बी,सीसदिश समष्टि रैखिक रूप से स्वतंत्र है। निम्नलिखित वेक्टर प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता सिद्ध करें:

ए)।ए+बी, बी, सी.

बी)।ए+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width=”15” ऊंचाई=”19”>–मनमानी संख्या

सी)।ए+बी, ए+सी, बी+सी.

11. होने देना ए,बी,सी– समतल पर तीन सदिश जिनसे एक त्रिभुज बनाया जा सकता है। क्या ये सदिश रैखिकतः आश्रित होंगे?

12. दो वेक्टर दिए गए हैं a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). दो और चार-आयामी वेक्टर खोजें ए3 औरए4ताकि सिस्टम ए1,ए2,ए3,ए4रैखिक रूप से स्वतंत्र था .

परिभाषा। सदिशों का रैखिक संयोजन a 1 , ..., a n गुणांक x 1 , ..., x n के साथ एक वेक्टर कहलाता है

एक्स 1 ए 1 + ... + एक्स एन ए एन।

मामूली, यदि सभी गुणांक x 1 , ..., x n शून्य के बराबर हैं।

परिभाषा। रैखिक संयोजन x 1 a 1 + ... + x n a n कहलाता है गैर तुच्छ, यदि गुणांक x 1, ..., x n में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का कोई गैर-तुच्छ संयोजन नहीं है।

अर्थात्, सदिश a 1, ..., a n रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 यदि और केवल यदि x 1 = 0, ..., x n = 0।

परिभाषा। सदिश a 1, ..., a n कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का एक गैर-तुच्छ संयोजन है।

रैखिकतः आश्रित सदिशों के गुण:

2 और 3 आयामी वैक्टर के लिए.

दो रैखिकतः आश्रित सदिश संरेख होते हैं। (संरेख सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।)

3-आयामी वैक्टर के लिए.

तीन रैखिकतः आश्रित सदिश समतलीय हैं। (तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं।)

• एन-आयामी वैक्टर के लिए।

  n + 1 सदिश हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

सदिशों की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता पर समस्याओं के उदाहरण:

उदाहरण 1. जांचें कि क्या सदिश a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं .

समाधान:

सदिश रैखिक रूप से निर्भर होंगे, क्योंकि सदिशों का आयाम सदिशों की संख्या से कम है।

उदाहरण 2. जांचें कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

समाधान:

	एक्स 1 + एक्स 2 = 0
	एक्स 1 + 2एक्स 2 - एक्स 3 = 0
	एक्स 1 + एक्स 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ; तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

यह समाधान दर्शाता है कि सिस्टम में कई समाधान हैं, यानी, संख्या x 1, x 2, x 3 के मानों का एक गैर-शून्य संयोजन है जैसे कि वैक्टर ए, बी, सी का रैखिक संयोजन बराबर है उदाहरण के लिए, शून्य वेक्टर:

ए + बी + सी = 0

जिसका अर्थ है कि सदिश a, b, c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उत्तर:सदिश a, b, c रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरण 3. जांचें कि क्या सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

समाधान:आइए उन गुणांकों के मान ज्ञात करें जिन पर इन वैक्टरों का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर होगा।

एक्स 1 ए + एक्स 2 बी + एक्स 3 सी 1 = 0

इस सदिश समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

	एक्स 1 + एक्स 2 = 0
	एक्स 1 + 2एक्स 2 - एक्स 3 = 0
	एक्स 1 + 2एक्स 3 = 0

आइए गॉस विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

दूसरी पंक्ति से पहली को घटाएँ; तीसरी पंक्ति से पहली घटाएँ:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ; तीसरी पंक्ति में दूसरा जोड़ें.

रूप की अभिव्यक्ति बुलाया सदिशों का रैखिक संयोजन ए 1 , ए 2 ,...,ए एनबाधाओं के साथ λ 1, λ 2 ,...,λ एन.

सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का निर्धारण

वेक्टर प्रणाली ए 1 , ए 2 ,...,ए एनबुलाया रैखिक रूप से निर्भर, यदि संख्याओं का एक गैर-शून्य सेट है λ 1, λ 2 ,...,λ एन, जिसमें सदिशों का रैखिक संयोजन होता है λ 1 *ए 1 +λ 2 *ए 2 +...+λ एन *ए एनशून्य वेक्टर के बराबर, अर्थात्, समीकरणों की प्रणाली: एक गैर-शून्य समाधान है.
संख्याओं का समुच्चय λ 1, λ 2 ,...,λ एन यदि संख्याओं में से कम से कम एक संख्या शून्य नहीं है λ 1, λ 2 ,...,λ एन शून्य से भिन्न.

सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता का निर्धारण

वेक्टर प्रणाली ए 1 , ए 2 ,...,ए एनबुलाया रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि इन सदिशों का रैखिक संयोजन λ 1 *ए 1 +λ 2 *ए 2 +...+λ एन *ए एनकेवल संख्याओं के शून्य सेट के लिए शून्य वेक्टर के बराबर λ 1, λ 2 ,...,λ एन , अर्थात्, समीकरणों की प्रणाली: ए 1 एक्स 1 +ए 2 एक्स 2 +...+ए एन एक्स एन =Θएक अद्वितीय शून्य समाधान है.

उदाहरण 29.1

जाँचें कि क्या सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है

समाधान:

1. हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

2. हम इसे गॉस विधि का उपयोग करके हल करते हैं. सिस्टम के जॉर्डनानो परिवर्तन तालिका 29.1 में दिए गए हैं। गणना करते समय, सिस्टम के दाहिने हिस्से को नहीं लिखा जाता है क्योंकि वे शून्य के बराबर होते हैं और जॉर्डन परिवर्तनों के दौरान नहीं बदलते हैं।

3. तालिका की अंतिम तीन पंक्तियों से मूल प्रणाली के समतुल्य एक समाधानित प्रणाली लिखेंप्रणाली:

4. हमें सिस्टम का सामान्य समाधान प्राप्त होता है:

5. अपने विवेक से मुक्त चर x 3 =1 का मान निर्धारित करने के बाद, हमें एक विशेष गैर-शून्य समाधान प्राप्त होता हैएक्स=(-3,2,1).

उत्तर: इस प्रकार, संख्याओं के गैर-शून्य सेट (-3,2,1) के लिए, वैक्टर का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ के बराबर होता है। इस तरह, वेक्टर प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर.

वेक्टर सिस्टम के गुण

संपत्ति (1)
यदि सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, तो कम से कम एक सदिश अन्य के संदर्भ में विस्तारित होता है और, इसके विपरीत, यदि प्रणाली के कम से कम एक सदिश अन्य के संदर्भ में विस्तारित होता है, तो सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है.

संपत्ति (2)
यदि सदिशों का कोई भी उपतंत्र रैखिक रूप से निर्भर है, तो संपूर्ण तंत्र रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति (3)
यदि सदिशों की कोई प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो उसका कोई भी उपप्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

संपत्ति (4)
शून्य सदिश युक्त सदिशों की कोई भी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

संपत्ति (5)
एम-आयामी वैक्टर की एक प्रणाली हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि वेक्टर एन की संख्या उनके आयाम (एन>एम) से अधिक है

वेक्टर प्रणाली का आधार

वेक्टर प्रणाली का आधार A 1 , A 2 ,..., A n ऐसे सबसिस्टम को B 1 , B 2 ,...,B r कहा जाता है(प्रत्येक सदिश B 1,B 2,...,B r सदिश A 1, A 2,..., A n में से एक है), जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
1. बी 1 ,बी 2 ,...,बी आरसदिशों की रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली;
2. कोई वेक्टरए जे सिस्टम ए 1 , ए 2 ,..., ए एन को वैक्टर बी 1 , बी 2 ,..., बी आर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है

आर- आधार में शामिल वैक्टरों की संख्या।

प्रमेय 29.1 सदिशों की प्रणाली के इकाई आधार पर।

यदि एम-आयामी वैक्टर की एक प्रणाली में एम विभिन्न इकाई वेक्टर ई 1 ई 2,..., ई एम शामिल हैं, तो वे सिस्टम का आधार बनाते हैं।

सदिशों की प्रणाली का आधार खोजने के लिए एल्गोरिदम

सदिशों A 1 ,A 2 ,...,A n की प्रणाली का आधार खोजने के लिए यह आवश्यक है:

• सदिशों की प्रणाली के अनुरूप समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली बनाएं ए 1 एक्स 1 +ए 2 एक्स 2 +...+ए एन एक्स एन =Θ
• ये सिस्टम लाओ