पिरामिड का s पक्ष ज्ञात कीजिए। पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें: आधार, भुजा और कुल? पिरामिड और गोले के बीच संबंध

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समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों के सतह क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

पिरामिड क्या है?

आइए हम पिरामिड की एक सख्त ज्यामितीय परिभाषा दें। मान लीजिए हमारे पास n भुजाओं और n कोणों वाला एक बहुभुज है। आइए अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें जो निर्दिष्ट एन-गॉन के विमान में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ दें। हमें एक निश्चित आयतन वाली एक आकृति मिलेगी, जिसे एन-गोनल पिरामिड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाएं कि एक पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (एन-गॉन) और उसका शीर्ष हैं। ये तत्व n त्रिभुजों द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं, जो सामान्यतः एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। शीर्ष से आधार तक उतरने वाले लम्ब को आकृति की ऊँचाई कहा जाता है। यदि यह आधार को ज्यामितीय केंद्र पर काटता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र से मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस स्थिति के अतिरिक्त, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो संपूर्ण पिरामिड नियमित कहा जाता है। नीचे दी गई तस्वीर दिखाती है कि त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय और षट्कोणीय आधारों वाले नियमित पिरामिड कैसे दिखते हैं।

पिरामिड की सतह

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले, हमें सतह की अवधारणा पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर बताया गया है और आंकड़ों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड फलकों या भुजाओं के समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। संपूर्ण आकृति की सतह उसकी प्रत्येक भुजा के क्षेत्रफलों का योग है।

किसी आकृति के विकास के उदाहरण का उपयोग करके सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का विकास नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रफलों और एक वर्ग के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

किसी आकृति की भुजाओं को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल आमतौर पर पार्श्व सतह क्षेत्र कहा जाता है। आगे हम दिखाएंगे कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे करें।

एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

संकेतित आकृति के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम फिर से उपरोक्त विकास की ओर मुड़ते हैं। आइए मान लें कि हम वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक ए द्वारा निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समान त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानना होगा। ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल S t आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे आधे में विभाजित किया जाना चाहिए। वह है:

जहाँ h b आधार a पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। एक पिरामिड के लिए, यह ऊंचाई एक एपोटेम है। अब प्रश्नगत पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S b प्राप्त करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को 4 से गुणा करना बाकी है:

एस बी = 4*एस टी = 2*एच बी *ए।

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: एपोथेम और आधार का किनारा। यदि उत्तरार्द्ध अधिकांश समस्या स्थितियों में ज्ञात है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। यहां दो मामलों के लिए एपोटेम एच बी की गणना के सूत्र दिए गए हैं:

• जब पार्श्व पसली की लंबाई ज्ञात हो;
• जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात हो जाती है.

यदि हम पार्श्व किनारे (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) की लंबाई को प्रतीक L द्वारा निरूपित करते हैं, तो एपोटेम h b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एच बी = √(एल 2 - ए 2 /4).

यह अभिव्यक्ति पार्श्व सतह त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने का परिणाम है।

यदि पिरामिड की ऊंचाई h ज्ञात है, तो एपोटेम h b की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एच बी = √(एच 2 + ए 2 /4).

यदि हम पिरामिड के अंदर एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, जो पैरों h और a/2 और कर्ण h b द्वारा बनता है, तो इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करना मुश्किल नहीं है।

आइए दिखाते हैं कि दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके इन सूत्रों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र के साथ समस्या

ज्ञातव्य है कि चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 108 सेमी 2 है। यदि पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी है तो इसके एपोटेम एच बी की लंबाई की गणना करना आवश्यक है।

आइए हम पार्श्व सतह के क्षेत्रफल S b के लिए ऊंचाई के संदर्भ में सूत्र लिखें। हमारे पास है:

एस बी = 2*√(एच 2 + ए 2 /4) *ए।

यहां हमने एस बी के लिए अभिव्यक्ति में उचित एपोथेम सूत्र को प्रतिस्थापित किया है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

एस बी 2 = 4*ए 2 *एच 2 + ए 4।

A का मान ज्ञात करने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं:

टी 2 + 4*एच 2 *टी - एस बी 2 = 0.

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

टी 2 + 196*टी - 11664 = 0.

हमने इस समीकरण का केवल सकारात्मक मूल ही लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर होंगी:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 सेमी.

एपोथेम की लंबाई प्राप्त करने के लिए, बस सूत्र का उपयोग करें:

एच बी = √(एच 2 + ए 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2 /4) ≈ 7.808 सेमी।

चेप्स पिरामिड की पार्श्व सतह

आइए हम मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के किनारे का मूल्य निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई 230.363 मीटर है। संरचना की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। इन संख्याओं को S b के संगत सूत्र में रखें, हमें प्राप्त होता है:

एस बी = 2*√(एच 2 + ए 2 /4) *ए = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 ≈ 85860 मीटर 2।

पाया गया मूल्य 17 फुटबॉल मैदानों के क्षेत्रफल से थोड़ा बड़ा है।

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होगा। मैं सभी ज्ञात जानकारी को संयोजित करना चाहूंगा, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें। इसके अलावा, आधार और पार्श्व किनारों से शुरू करके संपूर्ण सतह क्षेत्र तक। यदि पार्श्व फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से लेकर एन-गॉन तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अतिरिक्त, एक नियमित आकृति या अनियमित आकृति हो सकता है। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में, जिनमें स्कूली बच्चों की रुचि होती है, केवल आधार पर सही आंकड़ों वाले कार्य होते हैं। इसलिए हम उन्हीं के बारे में बात करेंगे.

नियमित त्रिकोण

अर्थात् समबाहु। वह जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और अक्षर "ए" द्वारा निर्दिष्ट हों। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4.

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "ए" फिर से पक्ष है:

मनमाना नियमित एन-गॉन

बहुभुज के किनारे पर समान अंकन होता है। कोणों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का प्रयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय क्या करें?

चूँकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड के सभी फलक समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि पार्श्व किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होगी। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे उत्पाद को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊँचाई को एपोटेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। पार्श्व सतह क्षेत्र का सामान्य सूत्र है:

एस = ½ पी*ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन पार्श्व किनारे (सी) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर आपको पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

S = n/2 * 2 पाप α में .

कार्य क्रमांक 1

स्थिति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसके आधार की भुजा 4 सेमी है और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरुआत करने की आवश्यकता है। चूँकि यह एक नियमित त्रिभुज है, तो P = 3*4 = 12 सेमी। चूँकि एपोथेम ज्ञात है, हम तुरंत संपूर्ण पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: ½*12*√3 = 6√3 सेमी 2।

आधार पर त्रिभुज के लिए, आपको निम्नलिखित क्षेत्र मान मिलता है: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 सेमी 2।

संपूर्ण क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने की आवश्यकता होगी: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 2

स्थिति. यहाँ एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार पक्ष की लंबाई 7 मिमी है, पार्श्व किनारा 16 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुष्कोणीय और नियमित है, इसका आधार एक वर्ग है। एक बार जब आप आधार और पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल जान लेंगे, तो आप पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने में सक्षम होंगे। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और पार्श्व फलकों के लिए, त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और निम्नलिखित संख्या तक ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करने की आवश्यकता होगी: (7 + 16*2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2। ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह निकला: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 मिमी 2।

उत्तर. वांछित मान 267.576 मिमी 2 है।

समस्या क्रमांक 3

स्थिति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है। वर्ग की भुजा 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी ज्ञात होती है।

समाधान।सबसे आसान तरीका परिधि और एपोथेम के गुणनफल के साथ सूत्र का उपयोग करना है। पहला मान ढूँढना आसान है. दूसरा थोड़ा अधिक जटिल है.

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम, जो कि कर्ण है, से बनता है। दूसरा पैर वर्ग की आधी भुजा के बराबर है, क्योंकि बहुफलक की ऊंचाई इसके मध्य में आती है।

आवश्यक एपोटेम (एक समकोण त्रिभुज का कर्ण) √(3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) के बराबर है।

अब आप आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 4

स्थिति।सही पक्ष दिया गया है। इसके आधार की भुजाएँ 22 मिमी हैं, पार्श्व किनारे 61 मिमी हैं। इस बहुफलक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो कार्य संख्या 2 में वर्णित है। केवल वहाँ आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 सेमी 2।

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना होगा, जो पार्श्व फलक है। (22+61*2):2 = 72 सेमी। ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना बाकी है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे आधार के लिए प्राप्त एक में जोड़ें।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 सेमी 2. गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 = 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2।

उत्तर।आधार 726√3 सेमी 2 है, पार्श्व सतह 3960 सेमी 2 है, संपूर्ण क्षेत्रफल 5217 सेमी 2 है।

एक मनमाना पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। नियमित पिरामिड के मामले में इस क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए एक विशेष सूत्र देना समझ में आता है। तो, आइए हमें एक नियमित पिरामिड दिया जाए, जिसके आधार पर एक नियमित एन-गॉन स्थित है जिसकी भुजा a के बराबर है। मान लीजिए h पार्श्व फलक की ऊँचाई है, जिसे h भी कहा जाता है एपोटेमपिरामिड. एक तरफ के चेहरे का क्षेत्रफल 1/2ah के बराबर है, और पिरामिड की पूरी तरफ की सतह का क्षेत्रफल n/2ha के बराबर है, क्योंकि na पिरामिड के आधार की परिधि है, हम पाया गया सूत्र लिख सकते हैं प्रपत्र में:

पार्श्व सतह क्षेत्रएक नियमित पिरामिड का मान उसके एपोथेम और आधार की आधी परिधि के गुणनफल के बराबर होता है।

के बारे में कुल सतह क्षेत्र, फिर हम बस आधार के क्षेत्र को साइड वन में जोड़ते हैं।

अंकित और परिचालित गोला और गेंद. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पिरामिड में अंकित गोले का केंद्र पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमानों के चौराहे पर स्थित है। पिरामिड के पास वर्णित गोले का केंद्र पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले और उनके लंबवत विमानों के चौराहे पर स्थित है।

कटा हुआ पिरामिड.यदि किसी पिरामिड को उसके आधार के समानान्तर किसी समतल द्वारा काटा जाता है, तो काटने वाले तल और आधार के बीच का भाग कहलाता है छोटा पिरामिड.चित्र में एक पिरामिड दिखाया गया है; काटने वाले तल के ऊपर स्थित उसके हिस्से को हटाने पर, हमें एक छोटा पिरामिड मिलता है। यह स्पष्ट है कि छोटा त्याग दिया गया पिरामिड शीर्ष पर समरूपता के केंद्र के साथ बड़े पिरामिड का समरूप है। समानता गुणांक ऊंचाई के अनुपात के बराबर है: k=h 2 /h 1, या किनारे के किनारे, या दोनों पिरामिडों के अन्य संबंधित रैखिक आयाम। हम जानते हैं कि समान आकृतियों के क्षेत्रफल रैखिक आयामों के वर्गों की तरह संबंधित होते हैं; इसलिए दोनों पिरामिडों के आधारों का क्षेत्रफल (अर्थात काटे गए पिरामिड के आधारों का क्षेत्रफल) इस प्रकार संबंधित हैं

यहां S 1 निचले आधार का क्षेत्र है, और S 2 काटे गए पिरामिड के ऊपरी आधार का क्षेत्र है। पिरामिडों की पार्श्व सतहें समान संबंध में हैं। वॉल्यूम के लिए एक समान नियम मौजूद है।

समान पिंडों के आयतनउनके रैखिक आयामों के घन की तरह संबंधित हैं; उदाहरण के लिए, पिरामिडों के आयतन उनकी ऊँचाई और आधारों के क्षेत्रफल के गुणनफल के रूप में संबंधित हैं, जिससे हमारा नियम तुरंत प्राप्त होता है। यह पूरी तरह से सामान्य प्रकृति का है और सीधे इस तथ्य से निकलता है कि आयतन में हमेशा लंबाई की तीसरी शक्ति का एक आयाम होता है। इस नियम का उपयोग करके, हम आधारों की ऊंचाई और क्षेत्रफल के माध्यम से एक काटे गए पिरामिड के आयतन को व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए ऊँचाई h और आधार क्षेत्रफल S 1 और S 2 वाला एक छोटा पिरामिड दिया गया है। यदि हम कल्पना करें कि इसे पूर्ण पिरामिड तक विस्तारित किया गया है, तो पूर्ण पिरामिड और छोटे पिरामिड के बीच समानता का गुणांक आसानी से अनुपात S 2 /S 1 के मूल के रूप में पाया जा सकता है। काटे गए पिरामिड की ऊंचाई h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) के रूप में व्यक्त की जाती है। अब हमारे पास एक काटे गए पिरामिड का आयतन है (V 1 और V 2 पूर्ण और छोटे पिरामिड के आयतन को दर्शाते हैं)

काटे गए पिरामिड के आयतन का सूत्र

आइए आधारों की परिधि पी 1 और पी 2 और एपोथेम ए की लंबाई के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र एस के लिए सूत्र प्राप्त करें। हम ठीक उसी तरह तर्क करते हैं जैसे आयतन का सूत्र निकालते समय करते हैं। हम पिरामिड को ऊपरी भाग से पूरक करते हैं, हमारे पास P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1 है, जहां k समानता गुणांक है, P 1 और P 2 आधारों की परिधि हैं, और S 1 और S 2 हैं संपूर्ण परिणामी पिरामिड की पार्श्व सतहों के क्षेत्र और तदनुसार उसका ऊपरी भाग हैं। पार्श्व सतह के लिए हम पाते हैं (a 1 और a 2 पिरामिड के एपोथेम हैं, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र

इस पाठ में:

• समस्या 1. पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें
• समस्या 2. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें

संबंधित सामग्री भी देखें:
.

टिप्पणी . यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। समस्याओं में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय, sqrt() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है। सरल मौलिक अभिव्यक्तियों के लिए, "√" चिह्न का उपयोग किया जा सकता है.

समस्या 1. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की ऊंचाई 3 सेमी है, और पार्श्व सतह और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है।
पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

समाधान.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करेंगे:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3/2ए
ए = एच / (√3/2)
ए = 3 / (√3/2)
ए = 6 / √3

जहाँ से आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:
एस = √3/4 ए 2
एस = √3/4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या के अनुसार, कोण OKM 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें।

ठीक / एमके = √2/2

आइए ध्यान रखें कि ओके अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। तब
ठीक = √3/6a
ठीक = √3/6 * 6/√3 = 1

तब
ठीक / एमके = √2/2
1/एमके = √2/2
एमके = 2/√2

फिर पार्श्व फलक का क्षेत्रफल त्रिभुज की ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6/√6
एस = 3√3 + 18/√6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

समस्या 2. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में ऊंचाई 10 सेमी और आधार की भुजा 16 सेमी है . पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए .

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, AO आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात की जा सकती है

जहाँ से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊँचाई स्थिति (10 सेमी), AO = 16√3/3 से ज्ञात होती है
पूर्वाह्न 2 = 100 + 256/3
एएम = √(556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। हम नीचे प्रस्तुत पहले सूत्र से एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

एस = 1/2 * 16 वर्ग((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग(364/3)
एस = 16 वर्ग(91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक बराबर होते हैं, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा
3एस = 48 √(91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

समस्या 3. एक नियमित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पार्श्व फलक और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

समाधान.
चूँकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है। अतः आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * √3/4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या के अनुसार, कोण OKM 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए लाभ उठाएं