द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें. संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

", यानी, पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में हम देखेंगे द्विघात समीकरण किसे कहते हैंऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है?

महत्वपूर्ण!

किसी समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अधिकतम शक्ति जिसमें अज्ञात "2" है, तो आपके पास एक द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 − 8 = 0

महत्वपूर्ण! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

"ए", "बी" और "सी" नंबर दिए गए हैं।

• "ए" पहला या उच्चतम गुणांक है;
• "बी" दूसरा गुणांक है;
• "सी" एक स्वतंत्र शब्द है.

"ए", "बी" और "सी" को खोजने के लिए आपको अपने समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण "ax 2 + bx + c = 0" के सामान्य रूप से करनी होगी।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

समीकरण	कठिनाइयाँ
ए = 5 बी = −14 सी = 17
ए = −7 बी = −13 सी = 8

1

3

= 0

• ए = −1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

एक्स 2 − 8 = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक विशेष विधि का उपयोग किया जाता है। जड़ें खोजने का सूत्र.

याद करना!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" पर लाएँ।
• अर्थात् दाहिनी ओर केवल “0” ही रहना चाहिए;

जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करें:

आइए एक उदाहरण देखें कि द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कैसे करें। आइए एक द्विघात समीकरण को हल करें.

एक्स 2 − 3एक्स − 4 = 0 समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए हमें बस आवेदन करने की जरूरत है.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।
आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।
आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।
आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।

x 1;2 =

इसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।
सूत्र "x 1;2 = " में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है

अक्षर "D" के लिए "b 2 − 4ac" को विवेचक कहा जाता है। विवेचक की अवधारणा पर "विभेदक क्या है" पाठ में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

आइए द्विघात समीकरण का एक और उदाहरण देखें।

x 2 + 9 + x = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना काफी कठिन है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" तक कम करें।
एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
एक्स =

6

2

एक्स = 3
उत्तर: एक्स = 3

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों का कोई मूल नहीं होता। यह स्थिति तब होती है जब सूत्र में मूल के अंतर्गत एक ऋणात्मक संख्या होती है।

"समीकरणों को हल करना" विषय को जारी रखते हुए, इस लेख की सामग्री आपको द्विघात समीकरणों से परिचित कराएगी।

आइए सब कुछ विस्तार से देखें: द्विघात समीकरण का सार और अंकन, साथ वाले शब्दों को परिभाषित करें, अपूर्ण और पूर्ण समीकरणों को हल करने की योजना का विश्लेषण करें, मूल और विभेदक के सूत्र से परिचित हों, मूल और गुणांक के बीच संबंध स्थापित करें, और निश्चित रूप से हम व्यावहारिक उदाहरणों का एक दृश्य समाधान देंगे।

द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

परिभाषा 1

द्विघात समीकरणएक समीकरण के रूप में लिखा गया है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, कहाँ एक्स– चर, ए , बी और सी- कुछ संख्याएँ, जबकि एशून्य नहीं है.

अक्सर, द्विघात समीकरणों को दूसरी डिग्री के समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि संक्षेप में एक द्विघात समीकरण दूसरी डिग्री का बीजगणितीय समीकरण होता है।

आइए दी गई परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दें: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, आदि। ये द्विघात समीकरण हैं.

परिभाषा 2

संख्या ए, बी और सीद्विघात समीकरण के गुणांक हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, जबकि गुणांक एपहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, बी - दूसरा गुणांक, या गुणांक पर एक्स, ए सीएक स्वतंत्र सदस्य कहा जाता है.

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में 6 x 2 - 2 x - 11 = 0अग्रणी गुणांक 6 है, दूसरा गुणांक है − 2 , और मुक्त पद के बराबर है − 11 . आइये इस तथ्य पर ध्यान दें कि जब गुणांक बीऔर/या सी नकारात्मक हैं, तो फॉर्म का संक्षिप्त रूप उपयोग किया जाता है 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, नहीं 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

आइए हम इस पहलू को भी स्पष्ट करें: यदि गुणांक एऔर/या बीबराबर 1 या − 1 , तो वे द्विघात समीकरण लिखने में स्पष्ट रूप से भाग नहीं ले सकते हैं, जिसे संकेतित संख्यात्मक गुणांक लिखने की विशिष्टताओं द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में y 2 − y + 7 = 0अग्रणी गुणांक 1 है, और दूसरा गुणांक है − 1 .

लघुकृत और अघटीकृत द्विघात समीकरण

पहले गुणांक के मान के आधार पर, द्विघात समीकरणों को कम और कम किए गए में विभाजित किया गया है।

परिभाषा 3

कम किया गया द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जहां अग्रणी गुणांक 1 है। अग्रणी गुणांक के अन्य मानों के लिए, द्विघात समीकरण अप्रमाणित है।

आइए उदाहरण दें: द्विघात समीकरण x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 घटाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में अग्रणी गुणांक 1 है।

9 x 2 − x − 2 = 0- अप्राप्त द्विघात समीकरण, जहां पहला गुणांक भिन्न है 1 .

किसी भी अघटीकृत द्विघात समीकरण को पहले गुणांक (समतुल्य परिवर्तन) द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करके कम समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। रूपांतरित समीकरण के मूल वही होंगे जो दिए गए अघटित समीकरण के समान होंगे या फिर उनका कोई मूल ही नहीं होगा।

एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करने से हमें एक कम किए गए द्विघात समीकरण से कम किए गए द्विघात समीकरण में संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने की अनुमति मिल जाएगी।

उदाहरण 1

समीकरण 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 दिया गया है . मूल समीकरण को लघु रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है।

समाधान

उपरोक्त योजना के अनुसार, हम मूल समीकरण के दोनों पक्षों को अग्रणी गुणांक 6 से विभाजित करते हैं। तब हमें मिलता है: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, और यह वैसा ही है: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0और आगे: (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0.यहाँ से: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के समतुल्य एक समीकरण प्राप्त होता है।

उत्तर: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

आइए द्विघात समीकरण की परिभाषा की ओर मुड़ें। इसमें हमने यह निर्दिष्ट किया है ए ≠ 0. समीकरण के लिए ऐसी ही स्थिति आवश्यक है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0बिल्कुल चौकोर था, चूँकि पर ए = 0यह मूलतः एक रैखिक समीकरण में परिवर्तित हो जाता है बी एक्स + सी = 0.

मामले में जब गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर होते हैं (जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से संभव है), द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा 4

अपूर्ण द्विघात समीकरण- ऐसा द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0,जहां कम से कम एक गुणांक है बीऔर सी(या दोनों) शून्य है.

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक द्विघात समीकरण जिसमें सभी संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

आइए चर्चा करें कि द्विघात समीकरणों के प्रकारों को ये नाम क्यों दिए गए हैं।

जब b = 0, द्विघात समीकरण का रूप लेता है ए एक्स 2 + 0 एक्स + सी = 0, जो वैसा ही है ए एक्स 2 + सी = 0. पर सी = 0द्विघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है ए एक्स 2 + बी एक्स + 0 = 0, जो समतुल्य है ए एक्स 2 + बी एक्स = 0. पर बी = 0और सी = 0समीकरण रूप ले लेगा ए एक्स 2 = 0. हमने जो समीकरण प्राप्त किए हैं वे पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न हैं कि उनके बाएँ पक्ष में चर x वाला कोई पद नहीं है, या कोई मुक्त पद नहीं है, या दोनों नहीं हैं। दरअसल, इस तथ्य ने इस प्रकार के समीकरण को नाम दिया - अधूरा।

उदाहरण के लिए, x 2 + 3 x + 4 = 0 और - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 पूर्ण द्विघात समीकरण हैं; एक्स 2 = 0, − 5 एक्स 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 · x = 0 - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

ऊपर दी गई परिभाषा निम्नलिखित प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को अलग करना संभव बनाती है:

• ए एक्स 2 = 0, यह समीकरण गुणांकों से मेल खाता है बी = 0और सी = 0 ;
• ए · एक्स 2 + सी = 0 पर बी = 0 ;
• ए · एक्स 2 + बी · एक्स = 0 पर सी = 0.

आइए हम प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के समाधान पर क्रमिक रूप से विचार करें।

समीकरण का हल a x 2 =0

जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह समीकरण गुणांकों से मेल खाता है बीऔर सी, शून्य के बराबर. समीकरण ए एक्स 2 = 0को समतुल्य समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है एक्स 2 = 0, जो हमें मूल समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है ए, शून्य के बराबर नहीं. स्पष्ट तथ्य यह है कि समीकरण की जड़ एक्स 2 = 0यह शून्य है क्योंकि 0 2 = 0 . इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे डिग्री के गुणों द्वारा समझाया जा सके: किसी भी संख्या के लिए पी,शून्य के बराबर नहीं, असमानता सत्य है पी 2 > 0, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कब पी ≠ 0समानता पी 2 = 0कभी हासिल नहीं होगा.

परिभाषा 5

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 के लिए एक अद्वितीय मूल है एक्स = 0.

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें − 3 x 2 = 0. यह समीकरण के समतुल्य है एक्स 2 = 0, इसकी एकमात्र जड़ है एक्स = 0, तो मूल समीकरण का एक ही मूल है - शून्य।

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा गया है:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

समीकरण a x 2 + c = 0 को हल करना

अगली पंक्ति में अपूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान है, जहाँ b = 0, c ≠ 0, अर्थात, रूप के समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0. आइए एक पद को समीकरण के एक तरफ से दूसरे तरफ ले जाकर, चिह्न को विपरीत में बदलकर और समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसी संख्या से विभाजित करके इस समीकरण को रूपांतरित करें जो शून्य के बराबर नहीं है:

• स्थानांतरण सीदाहिनी ओर, जो समीकरण देता है ए एक्स 2 = − सी;
• समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें ए, हम x = - c a पर समाप्त होते हैं।

हमारे परिवर्तन समतुल्य हैं; तदनुसार, परिणामी समीकरण भी मूल समीकरण के समतुल्य है, और यह तथ्य समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। मान क्या हैं से एऔर सीअभिव्यक्ति का मान - c a निर्भर करता है: इसमें ऋण चिह्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि ए = 1और सी = 2, फिर - सी ए = - 2 1 = - 2) या प्लस चिह्न (उदाहरण के लिए, यदि ए = − 2और सी = 6, फिर - सी ए = - 6 - 2 = 3); यह शून्य नहीं है क्योंकि सी ≠ 0. आइए हम उन स्थितियों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें जब - सी ए< 0 и - c a > 0 .

मामले में जब - सी ए< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа पीसमानता p 2 = - c a सत्य नहीं हो सकती।

सब कुछ अलग है जब - c a > 0: वर्गमूल याद रखें, और यह स्पष्ट हो जाएगा कि समीकरण x 2 = - c a का मूल संख्या - c a होगा, क्योंकि - c a 2 = - c a। यह समझना कठिन नहीं है कि संख्या - - c a समीकरण x 2 = - c a का मूल भी है: वास्तव में, - - c a 2 = - c a।

समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं होगा. हम इसे विरोधाभास की विधि का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। आरंभ करने के लिए, आइए ऊपर पाए गए जड़ों के लिए संकेतन को इस प्रकार परिभाषित करें एक्स 1और − x 1. आइए मान लें कि समीकरण x 2 = - c a का भी एक मूल है एक्स 2, जो जड़ों से भिन्न है एक्स 1और − x 1. हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके जानते हैं एक्सइसकी जड़ें, हम समीकरण को एक निष्पक्ष संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

के लिए एक्स 1और − x 1हम लिखते हैं: x 1 2 = - c a , और के लिए एक्स 2- एक्स 2 2 = - सी ए . संख्यात्मक समानताओं के गुणों के आधार पर, हम एक सही समानता पद को दूसरे पद से घटाते हैं, जो हमें मिलेगा: एक्स 1 2 − एक्स 2 2 = 0. हम अंतिम समानता को फिर से लिखने के लिए संख्याओं के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हैं (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. यह ज्ञात है कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक संख्या शून्य हो। उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है एक्स 1 − एक्स 2 = 0और/या एक्स 1 + एक्स 2 = 0, जो वही है एक्स 2 = एक्स 1और/या एक्स 2 = − एक्स 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उत्पन्न हुआ, क्योंकि सबसे पहले इस बात पर सहमति थी कि समीकरण की जड़ एक्स 2से अलग एक्स 1और − x 1. इसलिए, हमने सिद्ध कर दिया है कि समीकरण का x = - c a और x = - - c a के अलावा कोई मूल नहीं है।

आइए उपरोक्त सभी तर्कों को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

परिभाषा 6

अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0समीकरण x 2 = - c a के समतुल्य है, जो:

• -c a पर कोई जड़ नहीं होगी< 0 ;
• - c a > 0 के लिए दो मूल x = - c a और x = - - c a होंगे।

आइए हम समीकरणों को हल करने के उदाहरण दें ए एक्स 2 + सी = 0.

उदाहरण 3

एक द्विघात समीकरण दिया गया है 9 x 2 + 7 = 0.इसका समाधान निकालना जरूरी है.

समाधान

आइए मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ, फिर समीकरण रूप ले लेगा 9 x 2 = − 7.
आइए परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें 9 , हम x 2 = - 7 9 पर पहुंचते हैं। दाईं ओर हम ऋण चिह्न के साथ एक संख्या देखते हैं, जिसका अर्थ है: दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है। फिर मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं होगी.

उत्तर:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं है.

उदाहरण 4

समीकरण को हल करने की जरूरत है − x 2 + 36 = 0.

समाधान

आइए 36 को दाहिनी ओर ले जाएँ: − x 2 = − 36.
आइए दोनों भागों को विभाजित करें − 1 , हम पाते हैं x 2 = 36. दाहिनी ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं एक्स = 36 या एक्स = - 36 .
आइए मूल निकालें और अंतिम परिणाम लिखें: अपूर्ण द्विघात समीकरण − x 2 + 36 = 0दो जड़ें हैं एक्स=6या एक्स = − 6.

उत्तर: एक्स=6या एक्स = − 6.

समीकरण का हल a x 2 +b x=0

आइए तीसरे प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करें, जब सी = 0. अपूर्ण द्विघात समीकरण का हल खोजना ए एक्स 2 + बी एक्स = 0, हम गुणनखंडन विधि का उपयोग करेंगे। आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए, समीकरण के बाईं ओर मौजूद बहुपद का गुणनखंड करें एक्स. यह कदम मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण को उसके समकक्ष में बदलना संभव बना देगा एक्स (ए एक्स + बी) = 0. और यह समीकरण, बदले में, समीकरणों के एक सेट के बराबर है एक्स = 0और ए एक्स + बी = 0. समीकरण ए एक्स + बी = 0रैखिक, और इसकी जड़: एक्स = − बी ए.

परिभाषा 7

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स = 0दो जड़ें होंगी एक्स = 0और एक्स = − बी ए.

आइए एक उदाहरण के साथ सामग्री को सुदृढ़ करें।

उदाहरण 5

समीकरण 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 का हल खोजना आवश्यक है।

समाधान

हम इसे बाहर निकाल लेंगे एक्सकोष्ठक के बाहर हमें समीकरण x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 मिलता है। यह समीकरण समीकरणों के समतुल्य है एक्स = 0और 2 3 x - 2 2 7 = 0. अब आपको परिणामी रैखिक समीकरण को हल करना चाहिए: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3।

समीकरण का हल संक्षेप में इस प्रकार लिखें:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या 2 3 एक्स - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या एक्स = 3 3 7

उत्तर:एक्स = 0, एक्स = 3 3 7.

विवेचक, द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

द्विघात समीकरणों का समाधान खोजने के लिए, एक मूल सूत्र है:

परिभाषा 8

एक्स = - बी ± डी 2 · ए, कहां डी = बी 2 − 4 ए सी- द्विघात समीकरण का तथाकथित विभेदक।

x = - b ± D 2 · a लिखने का मूलतः मतलब यह है कि x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

यह समझना उपयोगी होगा कि यह सूत्र कैसे प्राप्त हुआ और इसे कैसे लागू किया जाए।

द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए एक द्विघात समीकरण को हल करने के कार्य का सामना करें ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0. आइए हम अनेक समतुल्य परिवर्तन करें:

• समीकरण के दोनों पक्षों को एक संख्या से विभाजित करें ए, शून्य से भिन्न, हमें निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• आइए परिणामी समीकरण के बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + सी ए
  इसके बाद, समीकरण यह रूप लेगा: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• अब अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना, चिह्न को विपरीत में बदलना संभव है, जिसके बाद हमें मिलता है: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• अंत में, हम अंतिम समानता के दाईं ओर लिखी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करते हैं:
  बी 2 · ए 2 - सी ए = बी 2 4 · ए 2 - सी ए = बी 2 4 · ए 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 = बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2।

इस प्रकार, हम मूल समीकरण के समतुल्य समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 पर पहुंचते हैं। ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0.

हमने पिछले पैराग्राफ में ऐसे समीकरणों के समाधान की जांच की (अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना)। पहले से ही प्राप्त अनुभव समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है:

• बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 के साथ< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• जब b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 समीकरण x + b 2 · a 2 = 0 है, तो x + b 2 · a = 0.

यहाँ से एकमात्र मूल x = - b 2 · a स्पष्ट है;

• बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 > 0 के लिए, निम्नलिखित सत्य होगा: एक्स + बी 2 · ए = बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 या एक्स = बी 2 · ए - बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2, जो एक्स + - बी 2 · ए = बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 या एक्स = - बी 2 · ए - बी 2 - 4 के समान है · ए · सी 4 · ए 2 , अर्थात्। समीकरण की दो जड़ें हैं.

यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (और इसलिए मूल समीकरण) की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति अभिव्यक्ति b के संकेत पर निर्भर करती है दाहिनी ओर 2 - 4 · a · c 4 · a 2 लिखा हुआ है। और इस अभिव्यक्ति का चिह्न अंश, (हर) के चिह्न द्वारा दिया जाता है 4 ए 2सदैव सकारात्मक रहेगा), अर्थात अभिव्यक्ति का संकेत बी 2 − 4 ए सी. यह अभिव्यक्ति बी 2 − 4 ए सीनाम दिया गया है - द्विघात समीकरण का विभेदक और अक्षर D को इसके पदनाम के रूप में परिभाषित किया गया है। यहां आप विवेचक का सार लिख सकते हैं - इसके मूल्य और चिह्न के आधार पर, वे यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें होंगी, और यदि हां, तो जड़ों की संख्या क्या है - एक या दो।

आइए समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 पर वापस लौटें। आइए विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2।

आइए हम फिर से अपना निष्कर्ष तैयार करें:

परिभाषा 9

• पर डी< 0 समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं;
• पर डी=0समीकरण का एक ही मूल है x = - b 2 · a ;
• पर डी > 0समीकरण के दो मूल हैं: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 या x = - b 2 · a - D 4 · a 2. मूलांकों के गुणों के आधार पर, इन जड़ों को इस रूप में लिखा जा सकता है: x = - b 2 · a + D 2 · a या - b 2 · a - D 2 · a. और, जब हम मॉड्यूल खोलते हैं और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं, तो हमें मिलता है: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a।

तो, हमारे तर्क का परिणाम एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति था:

एक्स = - बी + डी 2 ए, एक्स = - बी - डी 2 ए, विवेचक डीसूत्र द्वारा गणना की गई डी = बी 2 − 4 ए सी.

जब विवेचक शून्य से अधिक हो तो ये सूत्र दोनों वास्तविक जड़ों को निर्धारित करना संभव बनाते हैं। जब विवेचक शून्य है, तो दोनों सूत्रों को लागू करने से द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के रूप में वही मूल मिलेगा। ऐसे मामले में जहां विवेचक ऋणात्मक है, यदि हम द्विघात मूल सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो हमें ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेने की आवश्यकता का सामना करना पड़ेगा, जो हमें वास्तविक संख्याओं के दायरे से परे ले जाएगा। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण में वास्तविक जड़ें नहीं होंगी, लेकिन जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी संभव है, जो हमारे द्वारा प्राप्त समान मूल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

मूल सूत्र का तुरंत उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना संभव है, लेकिन यह आम तौर पर तब किया जाता है जब जटिल जड़ों को ढूंढना आवश्यक होता है।

अधिकांश मामलों में, इसका मतलब आमतौर पर जटिल नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों की खोज करना होता है। फिर, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, यह इष्टतम है कि पहले विवेचक को निर्धारित करें और सुनिश्चित करें कि यह नकारात्मक नहीं है (अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और फिर गणना करने के लिए आगे बढ़ें जड़ों का मूल्य.

उपरोक्त तर्क द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करना संभव बनाता है।

परिभाषा 10

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, ज़रूरी:

• सूत्र के अनुसार डी = बी 2 − 4 ए सीविभेदक मान ज्ञात करें;
• डी पर< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 के लिए, सूत्र x = - b 2 · a का उपयोग करके समीकरण का एकमात्र मूल ज्ञात करें;
• D > 0 के लिए, सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग करके द्विघात समीकरण की दो वास्तविक जड़ें निर्धारित करें।

ध्यान दें कि जब विवेचक शून्य है, तो आप सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग कर सकते हैं, यह सूत्र x = - b 2 · a के समान परिणाम देगा।

आइए उदाहरण देखें.

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए हम विवेचक के विभिन्न मूल्यों के लिए उदाहरणों का समाधान दें।

उदाहरण 6

हमें समीकरण की जड़ें खोजने की जरूरत है एक्स 2 + 2 एक्स − 6 = 0.

समाधान

आइए द्विघात समीकरण के संख्यात्मक गुणांक लिखें: a = 1, b = 2 और सी = − 6. आगे हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं, यानी। आइए विवेचक की गणना शुरू करें, जिसके लिए हम गुणांक ए, बी को प्रतिस्थापित करेंगे और सीविभेदक सूत्र में: डी = बी 2 - 4 · ए · सी = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28।

तो हमें D > 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
उन्हें खोजने के लिए, हम मूल सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग करते हैं और, संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: x = - 2 ± 28 2 · 1। आइए मूल चिन्ह से गुणनखंड निकालकर और फिर भिन्न को कम करके परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

एक्स = - 2 ± 2 7 2

एक्स = - 2 + 2 7 2 या एक्स = - 2 - 2 7 2

एक्स = - 1 + 7 या एक्स = - 1 - 7

उत्तर:एक्स = - 1 + 7​, एक्स = - 1 - 7।

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

समाधान

आइए विभेदक को परिभाषित करें: डी = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. विवेचक के इस मान के साथ, मूल समीकरण में केवल एक मूल होगा, जो सूत्र x = - b 2 · a द्वारा निर्धारित होता है।

एक्स = - 28 2 (- 4) एक्स = 3.5

उत्तर: एक्स = 3.5.

उदाहरण 8

समीकरण को हल करने की जरूरत है 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

समाधान

इस समीकरण के संख्यात्मक गुणांक होंगे: a = 5, b = 6 और c = 2. विवेचक को खोजने के लिए हम इन मानों का उपयोग करते हैं: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4। परिकलित विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

ऐसे मामले में जब कार्य जटिल जड़ों को इंगित करना है, हम जटिल संख्याओं के साथ क्रियाएं करते हुए मूल सूत्र लागू करते हैं:

एक्स = - 6 ± - 4 2 5,

एक्स = - 6 + 2 आई 10 या एक्स = - 6 - 2 आई 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i या x = - 3 5 - 1 5 · i.

उत्तर:कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं; जटिल जड़ें इस प्रकार हैं: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

स्कूली पाठ्यक्रम में, जटिल जड़ों को देखने की कोई मानक आवश्यकता नहीं है, इसलिए, यदि समाधान के दौरान विवेचक नकारात्मक निर्धारित किया जाता है, तो उत्तर तुरंत लिख दिया जाता है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

सम द्वितीय गुणांक के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र x = - b ± D 2 · a (D = b 2 - 4 · a · c) एक और अधिक सघन सूत्र प्राप्त करना संभव बनाता है, जिससे व्यक्ति को x के सम गुणांक वाले द्विघात समीकरणों का समाधान ढूंढने में मदद मिलती है ( या फॉर्म 2 · एन के गुणांक के साथ, उदाहरण के लिए, 2 3 या 14 एलएन 5 = 2 7 एलएन 5)। आइये दिखाते हैं कि यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है।

आइए, हमारे सामने द्विघात समीकरण a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 का हल खोजने का कार्य है। हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं: हम विवेचक D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) निर्धारित करते हैं, और फिर मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

एक्स = - 2 एन ± डी 2 ए, एक्स = - 2 एन ± 4 एन 2 - ए सी 2 ए, एक्स = - 2 एन ± 2 एन 2 - ए सी 2 ए, एक्स = - एन ± एन 2 - ए · सी ए।

मान लीजिए कि अभिव्यक्ति n 2 - a · c को D 1 के रूप में दर्शाया गया है (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 · n के साथ विचाराधीन द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, जहां डी 1 = एन 2 - ए · सी।

यह देखना आसान है कि डी = 4 · डी 1, या डी 1 = डी 4। दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का एक चौथाई है। जाहिर है, डी 1 का चिह्न डी के चिह्न के समान है, जिसका अर्थ है कि डी 1 का चिह्न द्विघात समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के संकेतक के रूप में भी काम कर सकता है।

परिभाषा 11

इस प्रकार, 2 n के दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरण का समाधान खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

• डी 1 = एन 2 - ए · सी खोजें;
• डी 1 पर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• जब D 1 = 0, सूत्र x = - n a का उपयोग करके समीकरण का एकमात्र मूल निर्धारित करें;
• D 1 > 0 के लिए, सूत्र x = - n ± D 1 a का उपयोग करके दो वास्तविक जड़ें निर्धारित करें।

उदाहरण 9

द्विघात समीकरण 5 x 2 - 6 x - 32 = 0 को हल करना आवश्यक है।

समाधान

हम दिए गए समीकरण के दूसरे गुणांक को 2 · (− 3) के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। फिर हम दिए गए द्विघात समीकरण को 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं, जहां a = 5, n = − 3 और c = − 32 है।

आइए विवेचक के चौथे भाग की गणना करें: डी 1 = एन 2 - ए · सी = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169। परिणामी मान धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके निर्धारित करें:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, एक्स = - - 3 ± 169 5, एक्स = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 या x = 3 - 13 5

एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके गणना करना संभव होगा, लेकिन इस मामले में समाधान अधिक बोझिल होगा।

उत्तर:एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2।

द्विघात समीकरणों के स्वरूप को सरल बनाना

कभी-कभी मूल समीकरण के रूप को अनुकूलित करना संभव होता है, जो जड़ों की गणना करने की प्रक्रिया को सरल बना देगा।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 स्पष्ट रूप से 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 की तुलना में हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।

अधिकतर, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण उसके दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर हमने समीकरण 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 का एक सरलीकृत प्रतिनिधित्व दिखाया, जो दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके प्राप्त किया गया था।

ऐसा परिवर्तन तभी संभव है जब द्विघात समीकरण के गुणांक सहअभाज्य संख्याएँ न हों। फिर हम आमतौर पर समीकरण के दोनों पक्षों को उसके गुणांकों के निरपेक्ष मानों के सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करते हैं।

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 का उपयोग करते हैं। आइए हम इसके गुणांकों के पूर्ण मूल्यों का जीसीडी निर्धारित करें: जीसीडी (12, 42, 48) = जीसीडी(जीसीडी (12, 42), 48) = जीसीडी (6, 48) = 6। आइए मूल द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करें और समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 प्राप्त करें।

द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके, आप आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांकों से छुटकारा पा लेते हैं। इस मामले में, वे इसके गुणांकों के हर के लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 के प्रत्येक भाग को LCM (6, 3, 1) = 6 से गुणा किया जाए, तो इसे सरल रूप में x 2 + 4 x लिखा जाएगा। − 18 = 0 .

अंत में, हम देखते हैं कि हम लगभग हमेशा समीकरण के प्रत्येक पद के चिह्नों को बदलकर द्विघात समीकरण के पहले गुणांक पर ऋण से छुटकारा पा लेते हैं, जो कि दोनों पक्षों को − 1 से गुणा (या विभाजित) करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 से, आप इसके सरलीकृत संस्करण 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 पर जा सकते हैं।

मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरणों के मूलों का सूत्र, जो हमें पहले से ज्ञात है, x = - b ± D 2 · a, समीकरण के मूलों को उसके संख्यात्मक गुणांकों के माध्यम से व्यक्त करता है। इस सूत्र के आधार पर, हमारे पास मूलों और गुणांकों के बीच अन्य निर्भरताएँ निर्दिष्ट करने का अवसर है।

विएटा के प्रमेय के सूत्र सबसे प्रसिद्ध और लागू हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 = - बी ए और एक्स 2 = सी ए।

विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाला दूसरा गुणांक होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 के रूप को देखकर, यह तुरंत निर्धारित करना संभव है कि इसके मूलों का योग 7 3 है और मूलों का गुणनफल 22 3 है।

आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध भी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

याकुपोवा एम.आई. 1

स्मिरनोवा यू.वी. 1

1 नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय संख्या 11

कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना पोस्ट किया गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण पीडीएफ प्रारूप में "कार्य फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है

द्विघात समीकरणों का इतिहास

बेबीलोन

न केवल पहली डिग्री, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता प्राचीन काल में खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ ही भूमि भूखंडों के क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। द्विघात समीकरणों को लगभग 2000 ईसा पूर्व हल किया जा सका था। ई. बेबीलोनियन। बेबीलोनियाई ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने के नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक नियमों के समान ही हैं, लेकिन इन ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों का अभाव है।

प्राचीन ग्रीस

प्राचीन ग्रीस में डायोफैंटस, यूक्लिड और हेरॉन जैसे वैज्ञानिकों ने भी द्विघात समीकरणों को हल करने पर काम किया था। अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस डायोफैंटस एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ हैं जो संभवतः तीसरी शताब्दी ईस्वी में रहते थे। 13 पुस्तकों में डायोफैंटस का मुख्य कार्य "अंकगणित" है। यूक्लिड. यूक्लिड एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ हैं, जो गणित पर पहले सैद्धांतिक ग्रंथ के लेखक हैं, हेरॉन। हेरोन - यूनानी गणितज्ञ और इंजीनियर पहली शताब्दी ईस्वी में ग्रीस में सबसे पहले। द्विघात समीकरण को हल करने का एक विशुद्ध बीजगणितीय तरीका देता है

भारत

द्विघात समीकरणों पर समस्याएँ भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (सातवीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम की रूपरेखा तैयार की, जिसे एकल विहित रूप में बदल दिया गया: ax2 + bx = c, a> 0. (1) समीकरण (1) में गुणांक नकारात्मक हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है। कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ भारत में आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से सितारों को मात देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करके सार्वजनिक सभाओं में अपनी महिमा को बढ़ाएगा।" समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

यह 12वीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर.

“खूँखार बंदरों का झुंड

और बेलों के किनारे बारहों ने जी भर कर खाया, और आनन्द किया

वे कूदने लगे, लटकने लगे

उनमें से भाग आठ का वर्ग हुआ

वहां कितने बंदर थे?

मैं समाशोधन में आनंद ले रहा था

मुझे बताओ, इस पैक में?

भास्कर का समाधान इंगित करता है कि लेखक जानता था कि द्विघात समीकरणों की जड़ें दो-मूल्य वाली हैं। भास्कर समस्या के अनुरूप समीकरण को x2 - 64x = - 768 के रूप में लिखते हैं और, इस समीकरण के बाईं ओर को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, दोनों पक्षों में 322 जोड़ते हैं, फिर प्राप्त करते हैं: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48।

17वीं सदी के यूरोप में द्विघात समीकरण

यूरोप में अल-खोरज़मी की तर्ज पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले अबेकस की पुस्तक में दिए गए थे, जो 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखी गई थी। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम के देशों और प्राचीन ग्रीस दोनों से गणित के प्रभाव को दर्शाता है, अपनी पूर्णता और प्रस्तुति की स्पष्टता से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक की कई समस्याओं का उपयोग 16वीं - 17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। और आंशिक रूप से XVIII. सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति विएथ से उपलब्ध है, लेकिन विएथ ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

द्विघात समीकरण की परिभाषा

ax 2 + bx + c = 0 के रूप का समीकरण, जहां a, b, c संख्याएं हैं, द्विघात कहलाता है।

द्विघात समीकरण गुणांक

संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। a पहला गुणांक है (x² से पहले), a ≠ 0 दूसरा गुणांक है (x से पहले) मुक्त पद है (x के बिना)।

इनमें से कौन सा समीकरण द्विघात नहीं है??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

द्विघात समीकरण के प्रकार

नाम	समीकरण का सामान्य रूप	फ़ीचर (गुणांक क्या हैं)	समीकरणों के उदाहरण
	कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0	ए, बी, सी - 0 के अलावा अन्य संख्याएँ	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
अधूरा
			x 2 - 1/5x = 0
दिया गया	एक्स 2 + बीएक्स + सी = 0		एक्स 2 - 3एक्स + 5 = 0

घटा हुआ एक द्विघात समीकरण है जिसमें अग्रणी गुणांक एक के बराबर है। संपूर्ण अभिव्यक्ति को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके ऐसा समीकरण प्राप्त किया जा सकता है ए:

एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0, पी = बी/ए, क्यू = सी/ए

एक द्विघात समीकरण पूर्ण कहलाता है यदि उसके सभी गुणांक शून्येतर हों।

एक द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है जिसमें अग्रणी एक को छोड़कर कम से कम एक गुणांक (या तो दूसरा गुणांक या मुक्त पद) शून्य के बराबर होता है।

द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

विधि I जड़ों की गणना के लिए सामान्य सूत्र

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना कुल्हाड़ी 2 + बी + सी = 0सामान्य तौर पर, आपको नीचे दिए गए एल्गोरिदम का उपयोग करना चाहिए:

द्विघात समीकरण के विवेचक के मान की गणना करें: यह इसके लिए अभिव्यक्ति है डी=बी 2 - 4ac

सूत्र की व्युत्पत्ति:

टिप्पणी:यह स्पष्ट है कि गुणन 2 के मूल का सूत्र सामान्य सूत्र का एक विशेष मामला है, जो इसमें समानता D=0 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, और D0 पर वास्तविक मूलों की अनुपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है, और (displaystyle (sqrt) -1))=i) = i.

प्रस्तुत विधि सार्वभौमिक है, लेकिन यह एकमात्र से बहुत दूर है। किसी एक समीकरण को हल करना कई तरीकों से किया जा सकता है, प्राथमिकताएँ आमतौर पर हल करने वाले पर निर्भर करती हैं। इसके अलावा, अक्सर इस उद्देश्य के लिए कुछ विधियाँ मानक विधि की तुलना में बहुत अधिक सुरुचिपूर्ण, सरल और कम श्रम-गहन होती हैं।

द्वितीय विधि. सम गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूलबी तृतीय विधि. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

चतुर्थ विधि. गुणांकों के आंशिक अनुपात का उपयोग करना

द्विघात समीकरणों के विशेष मामले हैं जिनमें गुणांक एक-दूसरे के साथ संबंध में होते हैं, जिससे उन्हें हल करना बहुत आसान हो जाता है।

एक द्विघात समीकरण के मूल जिसमें अग्रणी गुणांक और मुक्त पद का योग दूसरे गुणांक के बराबर है

यदि द्विघात समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0पहले गुणांक और मुक्त पद का योग दूसरे गुणांक के बराबर है: ए+बी=सी, तो इसकी जड़ें -1 हैं और मुक्त पद और अग्रणी गुणांक के अनुपात के विपरीत संख्या ( -सी/ए).

इसलिए, किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने से पहले, आपको इस प्रमेय को उस पर लागू करने की संभावना की जांच करनी चाहिए: अग्रणी गुणांक और मुक्त पद के योग की तुलना दूसरे गुणांक से करें।

एक द्विघात समीकरण के मूल जिसके सभी गुणांकों का योग शून्य है

यदि किसी द्विघात समीकरण में उसके सभी गुणांकों का योग शून्य है, तो ऐसे समीकरण की जड़ें 1 हैं और मुक्त पद का अग्रणी गुणांक से अनुपात है ( सी/ए).

इसलिए, मानक तरीकों का उपयोग करके किसी समीकरण को हल करने से पहले, आपको इस प्रमेय की प्रयोज्यता की जांच करनी चाहिए: इस समीकरण के सभी गुणांक जोड़ें और देखें कि क्या यह योग शून्य के बराबर नहीं है।

वी विधि. एक द्विघात त्रिपद को रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडित करना

यदि त्रिपद रूप का हो (प्रदर्शन शैली ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + बीएक्स + सी(ए ≠ 0)किसी तरह रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है (प्रदर्शन शैली (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), तो हम समीकरण की जड़ें पा सकते हैं कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0- आखिरकार, वे -एम/के और एन/एल होंगे (प्रदर्शन शैली (kx+m)(lx+n)=0लंबा बायांदायां तीर kx+m=0कप lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, और संकेतित रैखिक समीकरणों को हल करने पर, हम उपरोक्त प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि एक द्विघात त्रिपद हमेशा वास्तविक गुणांक वाले रैखिक कारकों में विघटित नहीं होता है: यह तभी संभव है जब संबंधित समीकरण की जड़ें वास्तविक हों।

आइए कुछ विशेष मामलों पर विचार करें

वर्ग योग (अंतर) सूत्र का उपयोग करना

यदि द्विघात त्रिपद का रूप (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 है, तो उपरोक्त सूत्र को इसमें लागू करके, हम इसे रैखिक कारकों में विभाजित कर सकते हैं और , इसलिए, जड़ें खोजें:

(कुल्हाड़ी) 2 + 2एबीएक्स + बी 2 = (कुल्हाड़ी + बी) 2

योग का पूर्ण वर्ग अलग करना (अंतर)

उपरोक्त सूत्र का उपयोग "योग (अंतर) के पूर्ण वर्ग का चयन करना" नामक विधि का उपयोग करके भी किया जाता है। पहले प्रस्तुत संकेतन के साथ उपरोक्त द्विघात समीकरण के संबंध में, इसका अर्थ निम्नलिखित है:

टिप्पणी:यदि आप ध्यान दें, तो यह सूत्र "घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ें" अनुभाग में प्रस्तावित सूत्र से मेल खाता है, जो बदले में, समानता a = 1 को प्रतिस्थापित करके सामान्य सूत्र (1) से प्राप्त किया जा सकता है। यह तथ्य महज एक संयोग नहीं है: वर्णित विधि का उपयोग करके, कुछ अतिरिक्त तर्क के साथ, कोई एक सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकता है और विवेचक के गुणों को भी साबित कर सकता है।

छठी विधि. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम विएटा प्रमेय का उपयोग करना

विएटा का प्रत्यक्ष प्रमेय (उसी नाम के अनुभाग में नीचे देखें) और इसका व्युत्क्रम प्रमेय आपको सूत्र (1) का उपयोग करके बोझिल गणनाओं का सहारा लिए बिना, उपरोक्त द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल करने की अनुमति देता है।

व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार, संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा (संख्या) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, नीचे दिए गए समीकरणों की प्रणाली का समाधान होने के कारण, समीकरण की जड़ें हैं

सामान्य स्थिति में, अर्थात्, एक अघटीकृत द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के लिए

एक्स 1 + एक्स 2 = -बी/ए, एक्स 1 * एक्स 2 = सी/ए

एक प्रत्यक्ष प्रमेय आपको उन संख्याओं को खोजने में मदद करेगा जो इन समीकरणों को मौखिक रूप से संतुष्ट करती हैं। इसकी सहायता से आप जड़ों को जाने बिना ही जड़ों के लक्षण निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको नियम का पालन करना चाहिए:

1) यदि मुक्त पद ऋणात्मक है, तो जड़ों के अलग-अलग चिह्न होते हैं, और मूलों के निरपेक्ष मान में सबसे बड़े का चिह्न समीकरण के दूसरे गुणांक के चिह्न के विपरीत होता है;

2) यदि मुक्त पद धनात्मक है, तो दोनों मूलों का चिह्न एक ही है, और यह दूसरे गुणांक के चिह्न के विपरीत चिह्न है।

सातवीं विधि. स्थानांतरण विधि

तथाकथित "स्थानांतरण" विधि आपको पूर्णांक गुणांक वाले कम समीकरणों के समाधान के लिए अग्रणी गुणांक द्वारा विभाजित करके पूर्णांक गुणांक वाले कम समीकरणों के रूप में अप्रतिबंधित और अघुलनशील समीकरणों के समाधान को कम करने की अनुमति देती है। यह इस प्रकार है:

इसके बाद, समीकरण को ऊपर वर्णित तरीके से मौखिक रूप से हल किया जाता है, फिर वे मूल चर पर लौटते हैं और समीकरण की जड़ें ढूंढते हैं (प्रदर्शन शैली y_(1)=ax_(1)) य 1 =कुल्हाड़ी 1 और य 2 =कुल्हाड़ी 2 .(प्रदर्शन शैली y_(2)=ax_(2))

ज्यामितीय अर्थ

द्विघात फलन का ग्राफ एक परवलय होता है। द्विघात समीकरण के समाधान (मूल) भुज अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज होते हैं। यदि द्विघात फलन द्वारा वर्णित परवलय x-अक्ष को नहीं काटता है, तो समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं। यदि एक परवलय x-अक्ष को एक बिंदु (परवलय के शीर्ष पर) पर काटता है, तो समीकरण का एक वास्तविक मूल होता है (यह भी कहा जाता है कि समीकरण के दो संपाती मूल हैं)। यदि परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें होती हैं (दाईं ओर छवि देखें।)

यदि गुणांक (डिस्प्लेस्टाइल ए) एसकारात्मक, परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं और इसके विपरीत। यदि गुणांक (डिस्प्लेस्टाइल बी)बीपॉजिटिव (यदि पॉजिटिव है (डिस्प्लेस्टाइल ए) ए, यदि नकारात्मक, इसके विपरीत), तो परवलय का शीर्ष बाएं आधे तल में स्थित है और इसके विपरीत।

जीवन में द्विघात समीकरणों का अनुप्रयोग

द्विघात समीकरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं, खेलों और हमारे आस-पास भी किया जाता है।

आइए हम द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग पर विचार करें और कुछ उदाहरण दें।

खेल। ऊंची छलांग: जम्पर के रन-अप के दौरान, टेक-ऑफ बार पर सबसे सटीक शॉट प्राप्त करने और ऊंची उड़ान भरने के लिए परवलय से संबंधित गणनाओं का उपयोग किया जाता है।

साथ ही फेंकने में भी इसी तरह की गणना की जरूरत होती है. किसी वस्तु की उड़ान सीमा द्विघात समीकरण पर निर्भर करती है।

खगोल विज्ञान। ग्रहों के प्रक्षेप पथ को द्विघात समीकरण का उपयोग करके पाया जा सकता है।

हवाई जहाज़ की उड़ान. हवाई जहाज का टेकऑफ़ उड़ान का मुख्य घटक है। यहां हम कम प्रतिरोध और टेकऑफ़ के त्वरण की गणना करते हैं।

द्विघात समीकरणों का उपयोग विभिन्न आर्थिक विषयों में, ऑडियो, वीडियो, वेक्टर और रेखापुंज ग्राफिक्स के प्रसंस्करण के कार्यक्रमों में भी किया जाता है।

निष्कर्ष

किए गए कार्य के परिणामस्वरूप, यह पता चला कि द्विघात समीकरणों ने प्राचीन काल में वैज्ञानिकों को आकर्षित किया था, जब वे कुछ समस्याओं को हल करते समय पहले ही उनका सामना कर चुके थे और उन्हें हल करने का प्रयास कर चुके थे; द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों को देखते हुए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि उनमें से सभी सरल नहीं हैं। मेरी राय में, द्विघात समीकरणों को हल करने का सबसे अच्छा तरीका उन्हें सूत्रों का उपयोग करके हल करना है। सूत्रों को याद रखना आसान है, यह विधि सार्वभौमिक है। यह परिकल्पना कि जीवन और गणित में समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, की पुष्टि की गई। विषय का अध्ययन करने के बाद, मैंने द्विघात समीकरणों, उनके उपयोग, अनुप्रयोग, प्रकार, समाधान के बारे में कई दिलचस्प तथ्य सीखे। और मुझे उनका अध्ययन जारी रखने में खुशी होगी। मुझे उम्मीद है कि इससे मुझे अपनी परीक्षाओं में अच्छा प्रदर्शन करने में मदद मिलेगी।

प्रयुक्त साहित्य की सूची

साइट सामग्री:

विकिपीडिया

खुला पाठ.आरएफ

प्राथमिक गणित की हैंडबुक वायगोडस्की एम. हां.

द्विघातीय समीकरण। सामान्य जानकारी।

में द्विघात समीकरणवहां एक x का वर्ग होना चाहिए (इसीलिए इसे कहा जाता है

"वर्ग") इसके अतिरिक्त, समीकरण में केवल X (पहली घात तक) और शामिल हो सकता है (या नहीं भी!)

बस एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य). और दो से अधिक घात पर कोई X नहीं होना चाहिए।

सामान्य रूप का बीजगणितीय समीकरण.

कहाँ एक्स- मुक्त चर, ए, बी, सी— गुणांक, और ए≠0 .

उदाहरण के लिए:

अभिव्यक्ति बुलाया द्विघात त्रिपद.

द्विघात समीकरण के तत्वों के अपने नाम होते हैं:

प्रथम या उच्चतम गुणांक कहा जाता है,

· दूसरा या गुणांक कहा जाता है,

· एक स्वतंत्र सदस्य को बुलाया गया.

पूर्ण द्विघात समीकरण.

इन द्विघात समीकरणों में बाईं ओर पदों का पूरा सेट है। एक्स वर्ग सी

गुणक ए,गुणांक के साथ पहली शक्ति तक x बीऔर मुक्त सदस्यसाथ। मेंसभी गुणांक

शून्य से भिन्न होना चाहिए.

अधूराएक द्विघात समीकरण है जिसमें कम से कम एक गुणांक को छोड़कर

अग्रणी पद (या तो दूसरा गुणांक या मुक्त पद) शून्य के बराबर है।

चलिए मान लेते हैं बी= 0, - एक्स से पहली शक्ति गायब हो जाएगी। यह पता चला है, उदाहरण के लिए:

2x 2 -6x=0,

वगैरह। और यदि दोनों गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं, तो सब कुछ और भी सरल है, उदाहरण के लिए:

2x 2 =0,

ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में दिखाई देता है।

क्यों एशून्य के बराबर नहीं हो सकता? तब x वर्ग लुप्त हो जायेगा और समीकरण बन जायेगा रेखीय .

और समाधान बिल्कुल अलग है...

आधुनिक समाज में, वर्ग चर वाले समीकरणों के साथ संचालन करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, हवाई जहाजों और रॉकेटों के डिज़ाइन में पाया जा सकता है। ऐसी गणनाओं का उपयोग करके, अंतरिक्ष वस्तुओं सहित विभिन्न प्रकार के पिंडों की गति के प्रक्षेप पथ निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान वाले उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में किया जाता है, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। लंबी पैदल यात्रा यात्राओं पर, खेल आयोजनों में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत सामान्य स्थितियों में उनकी आवश्यकता हो सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को उसके घटक कारकों में विभाजित करें

किसी समीकरण की डिग्री अभिव्यक्ति में शामिल चर की डिग्री के अधिकतम मान से निर्धारित होती है। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में कहें तो संकेतित भाव, चाहे वे कैसे भी दिखें, हमेशा उस रूप में लाए जा सकते हैं जब अभिव्यक्ति के बाएँ भाग में तीन पद हों। उनमें से: ax 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर का वर्ग), bx (इसके गुणांक के साथ एक वर्ग के बिना एक अज्ञात) और c (एक मुक्त घटक, अर्थात, एक साधारण संख्या)। दाहिनी ओर यह सब 0 के बराबर है। ऐसे मामले में जब ऐसे बहुपद में ax 2 के अपवाद के साथ इसके घटक पदों में से एक का अभाव होता है, तो इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान वाले उदाहरणों पर पहले विचार किया जाना चाहिए, जिनमें चर के मान खोजना आसान है।

यदि अभिव्यक्ति ऐसी दिखती है जैसे इसके दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो x को खोजने का सबसे आसान तरीका चर को कोष्ठक से बाहर रखना है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b). इसके बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x=0, या समस्या निम्नलिखित अभिव्यक्ति से एक चर खोजने पर आती है: ax+b=0। यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित होता है। नियम कहता है कि दो कारकों का गुणनफल तभी 0 होता है जब उनमें से एक शून्य हो।

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लिए गए एक निश्चित बिंदु से चलना शुरू करते हैं। यहां गणितीय अंकन निम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2 /2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 के बराबर करके और संभावित अज्ञात का पता लगाकर, आप उस समय का पता लगा सकते हैं जो शरीर के उठने के क्षण से उसके गिरने के क्षण तक गुजरता है, साथ ही कई अन्य मात्राएँ भी। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे.

एक अभिव्यक्ति का गुणनखंडन

ऊपर वर्णित नियम अधिक जटिल मामलों में इन समस्याओं को हल करना संभव बनाता है। आइए इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखें।

एक्स 2 - 33x + 200 = 0

यह द्विघात त्रिपद पूर्ण है। सबसे पहले, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और उसका गुणनखंड करें। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो जड़ें 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण इस विधि को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भावों में भी चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब दाएँ पक्ष को एक चर वाले कारकों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात्, (x+1), (x-3) और (x+) 3).

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -1; 3.

वर्गमूल

अपूर्ण दूसरे क्रम के समीकरण का एक अन्य मामला अक्षरों की भाषा में इस तरह से प्रस्तुत एक अभिव्यक्ति है कि दाईं ओर का निर्माण घटकों ax 2 और c से होता है। यहां, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और उसके बाद समानता के दोनों पक्षों से वर्गमूल निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद वे समानताएँ हो सकती हैं जिनमें कोई भी पद शामिल नहीं होता है, जहाँ चर शून्य के बराबर होता है, साथ ही अभिव्यक्ति के प्रकार भी होते हैं जब दाहिना पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं है, क्योंकि उपरोक्त क्रियाएं जड़ों के साथ नहीं की जा सकतीं। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस स्थिति में, समीकरण की जड़ें संख्याएँ -4 और 4 होंगी।

भूमि क्षेत्र की गणना

इस प्रकार की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई देती थी, क्योंकि उन दूर के समय में गणित का विकास काफी हद तक भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को सबसे बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता से निर्धारित होता था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि जमीन का एक आयताकार भूखंड है, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। यदि आप जानते हैं कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है तो आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि ज्ञात करनी चाहिए।

आरंभ करने के लिए, आइए पहले आवश्यक समीकरण बनाएं। आइए हम क्षेत्र की चौड़ाई को x से निरूपित करें, तो इसकी लंबाई (x+16) होगी। जो लिखा गया है उससे यह पता चलता है कि क्षेत्रफल अभिव्यक्ति x(x+16) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो, हमारी समस्या की शर्तों के अनुसार, 612 है। इसका मतलब है कि x(x+16) = 612.

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना, और यह अभिव्यक्ति बिल्कुल वैसी ही है, उसी तरह से नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालाँकि बाईं ओर अभी भी दो कारक हैं, उनका उत्पाद बिल्कुल भी 0 के बराबर नहीं है, इसलिए यहां विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करेंगे, फिर इस अभिव्यक्ति की उपस्थिति इस तरह दिखेगी: x 2 + 16x - 612 = 0. इसका मतलब है कि हमें अभिव्यक्ति पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप एक रूप में प्राप्त हुई है, जहां ए=1, बी=16, सी= -612।

यह विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहां आवश्यक गणनाएँ योजना के अनुसार की गई हैं: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मात्रा न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक मात्राएँ खोजना संभव बनाती है, बल्कि संभावित विकल्पों की संख्या भी निर्धारित करती है। यदि D>0, तो उनमें से दो हैं; D=0 के लिए एक मूल है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक इसके बराबर है: 256 - 4(-612) = 2704। इससे पता चलता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप k जानते हैं, तो नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान जारी रखना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34. इस दुविधा में दूसरा विकल्प कोई समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आयामों को नकारात्मक मात्रा में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात् भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहां से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18 +16=34, और परिमाप 2(34+ 18)=104(एम2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अपना अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

आइए सब कुछ समानता के बाईं ओर ले जाएं, एक परिवर्तन करें, यानी, हम समीकरण का प्रकार प्राप्त करेंगे जिसे आमतौर पर मानक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करें।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने पर, हम विवेचक निर्धारित करते हैं: डी = 49 - 48 = 1। इसका मतलब है कि हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। आइए उपरोक्त सूत्र के अनुसार उनकी गणना करें, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1 के बराबर होगा।

2) अब आइए एक अलग तरह के रहस्यों को सुलझाएं।

आइए जानें कि क्या यहां x 2 - 4x + 5 = 1 का कोई मूल है? व्यापक उत्तर प्राप्त करने के लिए, आइए बहुपद को संगत सामान्य रूप में घटाएँ और विवेचक की गणना करें। उपरोक्त उदाहरण में, द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह समस्या का सार ही नहीं है। इस मामले में, D = 16 - 20 = -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को विवेचक के मान से लिया जाता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता. हालाँकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। उसका नाम उस व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं शताब्दी में फ्रांस में रहता था और उसने अपनी गणितीय प्रतिभा और अदालत में संबंधों की बदौलत एक शानदार करियर बनाया। लेख में उनका चित्र देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जिस पैटर्न पर ध्यान दिया वह इस प्रकार था। उन्होंने साबित किया कि समीकरण की जड़ें संख्यात्मक रूप से -p=b/a से जुड़ती हैं, और उनका उत्पाद q=c/a से मेल खाता है।

आइए अब विशिष्ट कार्यों पर नजर डालें।

3x 2 + 21x - 54 = 0

सरलता के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

x 2 + 7x - 18 = 0

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करें, इससे हमें निम्नलिखित मिलेगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हमें पता चलता है कि समीकरण की जड़ें संख्याएं -9 और 2 हैं। जांच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये चर मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट बैठते हैं।

परवलय ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ निकटता से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले ही दिये जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को दृश्य रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ़ के रूप में खींचे गए ऐसे संबंध को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे चित्र में प्रस्तुत किये गये हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात एक बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, तो वे अनंत तक ऊपर जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

फ़ंक्शंस का दृश्य निरूपण द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करता है। इस विधि को ग्राफिकल कहा जाता है। और x वेरिएबल का मान उन बिंदुओं पर भुज निर्देशांक है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक दिए गए सूत्र x 0 = -b/2a का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। और परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके, आप y 0 प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात, परवलय के शीर्ष का दूसरा निर्देशांक, जो कोटि अक्ष से संबंधित है।

भुज अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के बहुत सारे उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर नजर डालें. यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन केवल तभी संभव है जब 0 नकारात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

परवलय के ग्राफ से आप मूल भी निर्धारित कर सकते हैं। उल्टा भी सही है। अर्थात्, यदि किसी द्विघात फलन का दृश्य प्रतिनिधित्व प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप अभिव्यक्ति के दाहिने पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जानने से ग्राफ़ बनाना आसान हो जाता है।

इतिहास से

वर्ग चर वाले समीकरणों का उपयोग करके, पुराने दिनों में वे न केवल गणितीय गणनाएँ करते थे और ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल भी निर्धारित करते थे। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान लगाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बेबीलोन के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग से चार शताब्दी पहले हुआ था। निःसंदेह, उनकी गणनाएँ वर्तमान में स्वीकृत गणनाओं से मौलिक रूप से भिन्न थीं और बहुत अधिक आदिम निकलीं। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे अन्य बारीकियों से भी अपरिचित थे जो कोई भी आधुनिक स्कूली बच्चा जानता है।

शायद बेबीलोन के वैज्ञानिकों से भी पहले, भारत के ऋषि बौधायमा ने द्विघात समीकरणों को हल करना शुरू कर दिया था। यह ईसा से लगभग आठ शताब्दी पूर्व हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, पुराने दिनों में चीनी गणितज्ञ भी इसी तरह के सवालों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को 13वीं शताब्दी की शुरुआत में ही हल किया जाना शुरू हुआ, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों ने अपने कार्यों में उनका उपयोग किया।