एक एकरस बंधे अनुक्रम की सीमाओं का अस्तित्व। एक मोनोटोन अनुक्रम की सीमा पर वीयरस्ट्रैस का प्रमेय

परिभाषा: यदि हर कोई एन є एन, आज्ञाकारी एक्स एन є एन,फिर वे ऐसा कहते हैं

रूप न्यूमेरिकल परिणाम को.

- सदस्यों दृश्यों

- सामान्य सदस्य दृश्यों

प्रस्तुत परिभाषा का तात्पर्य है कि कोई भी संख्या अनुक्रम अनंत होना चाहिए, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि सभी सदस्य अलग-अलग संख्याएँ होने चाहिए।

संख्या क्रम पर विचार किया जाता है दिया गया, यदि कोई कानून निर्दिष्ट किया गया है जिसके द्वारा अनुक्रम के किसी भी सदस्य को पाया जा सकता है।

सदस्य या अनुक्रम तत्व (1) आरोही क्रम में सभी प्राकृतिक संख्याओं द्वारा क्रमांकित। n+1 > n-1 के लिए, पद पद का अनुसरण करता है (पहले आता है), भले ही संख्या स्वयं संख्या से बड़ी हो, कम हो या उसके बराबर हो।

परिभाषा: एक चर x जो कुछ अनुक्रम लेता है (1) मान, हम - Meray (Ch. Meray) का अनुसरण करते हुए - कॉल करेंगे विकल्प।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में आप बिल्कुल इसी प्रकार के चर पा सकते हैं, जैसे कि विकल्प।

उदाहरण के लिए, एक अनुक्रम की तरह

(अंकगणित) या प्रकार

(ज्यामितीय अनुक्रम)

एक या दूसरे क्रम का परिवर्तनशील पद है विकल्प।

किसी वृत्त की लंबाई निर्धारित करने के संबंध में, हम आम तौर पर वृत्त में अंकित एक नियमित बहुभुज की परिधि पर विचार करते हैं, जो भुजाओं की संख्या को क्रमिक रूप से दोगुना करके एक षट्भुज से प्राप्त की जाती है। इस प्रकार, यह विकल्प मानों का निम्नलिखित क्रम लेता है:

आइए बढ़ती सटीकता के साथ दशमलव सन्निकटन (नुकसान से) का भी उल्लेख करें। यह मानों का एक क्रम लेता है:

और विकल्प भी प्रस्तुत करता है।

अनुक्रम (1) के माध्यम से चलने वाले चर x को अक्सर इस अनुक्रम के चर ("सामान्य") सदस्य के साथ पहचानकर निरूपित किया जाता है।

कभी-कभी विकल्प x n को सीधे x n के लिए अभिव्यक्ति को इंगित करके निर्दिष्ट किया जाता है; इसलिए, अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति के मामले में, हमारे पास क्रमशः x n =a+(n-1) d या x n =aq n-1 है। इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप पिछले मानों की गणना किए बिना, दी गई संख्या के आधार पर किसी भी भिन्न मान की तुरंत गणना कर सकते हैं।

एक नियमित उत्कीर्ण बहुभुज की परिधि के लिए, ऐसी सामान्य अभिव्यक्ति तभी संभव है जब हम संख्या p का परिचय दें; सामान्य तौर पर, एक नियमित उत्कीर्ण एम-गॉन की परिधि पी एम सूत्र द्वारा दी जाती है

परिभाषा 1: एक संख्या अनुक्रम (x n) को ऊपर (नीचे) परिबद्ध कहा जाता है यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद है एम (टी), कि इस अनुक्रम के किसी भी तत्व के लिए असमानता है, और संख्या एम (एम) कहा जाता है शीर्ष (निचला) किनारा.

परिभाषा 2: एक संख्या अनुक्रम (x n) को परिबद्ध कहा जाता है यदि यह ऊपर और नीचे दोनों ओर परिबद्ध है, अर्थात। वहां एम, एम मौजूद है, जैसे कि किसी के लिए

आइए हम A = अधिकतम (|M|, |m|) को निरूपित करें, तो यह स्पष्ट है कि संख्यात्मक अनुक्रम सीमित होगा यदि किसी भी समानता के लिए |x n |?A धारण करता है, तो अंतिम असमानता संख्यात्मक अनुक्रम के लिए एक शर्त है सीमित रहें.

परिभाषा 3: एक संख्या अनुक्रम कहलाता है अंतहीन बड़ाअनुक्रम, यदि किसी A>0 के लिए, आप एक संख्या N निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि सभी n>N ||>A के लिए हो।

परिभाषा 4: संख्या क्रम (बी एन) कहलाता है अंतहीन छोटाअनुक्रम, यदि किसी दिए गए e > 0 के लिए, कोई एक संख्या N(e) निर्दिष्ट कर सकता है जैसे कि किसी भी n > N(e) के लिए असमानता | बी एन |< е.

परिभाषा 5: संख्या क्रम (x n) कहलाता है संमिलित, यदि कोई संख्या a ऐसी है कि अनुक्रम (x n - a) एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है। उसी समय, एक - आप LIMIT मूल न्यूमेरिकल क्रम.

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी अतिसूक्ष्म अनुक्रम अभिसारी हैं और इन अनुक्रमों की सीमा = 0 है।

इस तथ्य के कारण कि अभिसरण अनुक्रम की अवधारणा एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम की अवधारणा से जुड़ी हुई है, अभिसरण अनुक्रम की परिभाषा दूसरे रूप में दी जा सकती है:

परिभाषा 6: संख्या क्रम (x n) कहलाता है संमिलितकिसी संख्या a के लिए, यदि किसी मनमाने ढंग से छोटे के लिए ऐसा है कि सभी n > N के लिए असमानता है

a अनुक्रम की सीमा है

क्योंकि समतुल्य है, और इसका मतलब है कि अंतराल x n є (a - e; a+ e) से संबंधित है या, जो समान है, e से संबंधित है - बिंदु a का पड़ोस। तब हम अभिसारी संख्या अनुक्रम की एक और परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा 7: संख्या क्रम (x n) कहलाता है संमिलित, यदि कोई बिंदु ऐसा है कि इस बिंदु के किसी भी पर्याप्त छोटे ई-पड़ोस में कुछ संख्या एन से शुरू होने वाले इस अनुक्रम के कोई तत्व हैं।

ध्यान दें: परिभाषाओं (5) और (6) के अनुसार, यदि a अनुक्रम (x n) की सीमा है, तो x n - a एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम का एक तत्व है, अर्थात। x n - a = b n, जहां b n एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम का एक तत्व है। नतीजतन, x n = a + b n, और फिर हमें यह दावा करने का अधिकार है कि यदि एक संख्यात्मक अनुक्रम (x n) अभिसरण करता है, तो इसे हमेशा इसकी सीमा के योग और एक अनंत अनुक्रम के तत्व के रूप में दर्शाया जा सकता है।

विपरीत कथन भी सत्य है: यदि अनुक्रम के किसी भी तत्व (x n) को एक स्थिर संख्या और एक अनंत अनुक्रम के तत्व के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो यह स्थिरांक है आप LIMIT दिया गया दृश्यों.

परिभाषा 8. अनुक्रम नहीं बढ़ता है (नहीं घट जाती है), यदि के लिए.

परिभाषा 9. अनुक्रम बढ़ जाता है (घटता हुआ), यदि के लिए.

परिभाषा 10. सख्ती से बढ़ने या सख्ती से घटने वाले क्रम को कहा जाता है नीरस अनुक्रम.

एक मोनोटोन अनुक्रम की सीमा पर वीयरस्ट्रैस के प्रमेय का प्रमाण दिया गया है। परिबद्ध और असंबद्ध अनुक्रमों के मामलों पर विचार किया जाता है। एक उदाहरण पर विचार किया जाता है जिसमें वीयरस्ट्रैस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, अनुक्रम के अभिसरण को साबित करना और इसकी सीमा का पता लगाना आवश्यक है।

सामग्री

यह भी देखें: मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ

कोई भी एकरस बंधा हुआ क्रम (xn)सटीक ऊपरी सीमा के बराबर एक परिमित सीमा होती है, सुपर(xn)एक गैर-घटती और सटीक निचली सीमा के लिए, inf(xn)एक गैर-बढ़ते क्रम के लिए.
किसी भी मोनोटोनिक अनबाउंड अनुक्रम की एक अनंत सीमा होती है, जो गैर-घटते अनुक्रम के लिए प्लस इनफिनिटी और गैर-बढ़ते अनुक्रम के लिए माइनस इनफिनिटी के बराबर होती है।

सबूत

1) गैर-घटता हुआ सीमित अनुक्रम.

(1.1) .

चूँकि अनुक्रम परिबद्ध है, इसकी एक परिमित ऊपरी सीमा है
.
इस का मतलब है कि:

• सभी n के लिए,
  (1.2) ;
• किसी भी धनात्मक संख्या के लिए, ε पर निर्भर एक संख्या होती है, ताकि
  (1.3) .

.
यहां हमने (1.3) का भी उपयोग किया। (1.2) के साथ संयोजन करने पर, हम पाते हैं:
पर ।
के बाद से
,
या
पर ।
प्रमेय का पहला भाग सिद्ध हो चुका है।

2) चलिए अब क्रम चलता है गैर-बढ़ता हुआ बंधा हुआ क्रम:
(2.1) सभी के लिए एन.

चूँकि अनुक्रम परिबद्ध है, इसकी एक परिमित निचली सीमा है
.
इसका मतलब निम्नलिखित है:

• सभी n के लिए निम्नलिखित असमानताएँ कायम हैं:
  (2.2) ;
• किसी भी धनात्मक संख्या के लिए, ε के आधार पर एक संख्या होती है, जिसके लिए
  (2.3) .

.
यहां हमने (2.3) का भी उपयोग किया। (2.2) को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:
पर ।
के बाद से
,
या
पर ।
इसका मतलब यह है कि संख्या अनुक्रम की सीमा है।
प्रमेय का दूसरा भाग सिद्ध है।

अब असीमित अनुक्रमों पर विचार करें।
3) क्रम रहने दीजिए असीमित गैर-घटता क्रम.

चूँकि अनुक्रम गैर-घटता नहीं है, निम्नलिखित असमानताएँ सभी n के लिए मान्य हैं:
(3.1) .

चूँकि अनुक्रम घटता नहीं और असीमित है, इसलिए दाहिनी ओर यह असीमित है। फिर किसी भी संख्या M के लिए एक संख्या होती है, जो M पर निर्भर करती है
(3.2) .

चूँकि अनुक्रम घटता नहीं है, तो जब हमारे पास:
.
यहां हमने (3.2) का भी उपयोग किया।

.
इसका मतलब है कि अनुक्रम की सीमा प्लस अनंत है:
.
प्रमेय का तीसरा भाग सिद्ध है।

4) अंत में, उस मामले पर विचार करें जब असीमित गैर-बढ़ता क्रम.

पिछले वाले के समान, चूँकि अनुक्रम बढ़ नहीं रहा है
(4.1) सभी के लिए एन.

चूंकि अनुक्रम गैर-बढ़ता और असीमित है, इसलिए यह बाईं ओर असीमित है। फिर किसी भी संख्या M के लिए एक संख्या होती है, जो M पर निर्भर करती है
(4.2) .

चूँकि अनुक्रम गैर-बढ़ रहा है, तो जब हमारे पास:
.

इसलिए, किसी भी संख्या M के लिए M पर निर्भर एक प्राकृतिक संख्या होती है, ताकि सभी संख्याओं के लिए निम्नलिखित असमानताएँ कायम रहें:
.
इसका मतलब है कि अनुक्रम की सीमा शून्य से अनंत के बराबर है:
.
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्या समाधान का उदाहरण

वीयरस्ट्रैस के प्रमेय का उपयोग करते हुए सभी उदाहरण, अनुक्रम के अभिसरण को साबित करते हैं:
, , . . . , , . . .
तो इसकी सीमा ज्ञात कीजिये.

आइए अनुक्रम को आवर्ती सूत्रों के रूप में प्रस्तुत करें:
,
.

आइए हम सिद्ध करें कि दिया गया अनुक्रम उपरोक्त मान से घिरा है
(पी1) .
गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके प्रमाणन किया जाता है।
.
होने देना । तब
.
असमानता (ए1) सिद्ध है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम एकरस रूप से बढ़ता है।
;
(पी2) .
चूँकि, तब भिन्न का हर और अंश में पहला गुणनखंड धनात्मक होता है। असमानता (ए1) द्वारा अनुक्रम की शर्तों की सीमा के कारण, दूसरा कारक भी सकारात्मक है। इसीलिए
.
यानी क्रम सख्ती से बढ़ रहा है.

चूंकि अनुक्रम बढ़ रहा है और ऊपर से घिरा हुआ है, यह एक घिरा हुआ अनुक्रम है। इसलिए, वीयरस्ट्रैस के प्रमेय के अनुसार, इसकी एक सीमा है।

आइए इस सीमा का पता लगाएं। आइए इसे a द्वारा निरूपित करें:
.
आइए इस तथ्य का उपयोग करें
.
आइए अभिसारी अनुक्रमों की सीमाओं के अंकगणितीय गुणों का उपयोग करके इसे (A2) पर लागू करें:
.
जड़ से शर्त पूरी होती है.

यह भी देखें: