Теория вероятностей и математическая статистика.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Пример Вычислить! 7! 5! 5!! Пусть даны три буквы этих букв: 7 1! Перестановки 5 3 A, B, C Составим все возможные комбинации из ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (всего комбинаций) Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв Определение Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками Перестановки обозначаются символом n, где n - число элементов, входящих в каждую перестановку 3 3! Число перестановок можно вычислить по формуле n или с помощью факториала: n n 1 n 3 1 n n! Так, число перестановок из трех элементов согласно формуле составляет, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера 5 0 Пример Вычислить,! ! !- 5! 5! -1 5! 5! 1 5 0! ! 1! Пример Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

2 5! Пример В соревнованиях участвовало четыре команды Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? 4! Размещения Пусть имеются четыре буквы A, B, C, D Составить все комбинации только из двух букв, получим: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами, или их порядком (комбинации BA и AB считаются различными) Определение Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называется размещениями Размещения обозначаются n A m n число элементов в каждой комбинации, где m число всех имеющихся элементов, A n m m! (m n)! Пример Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд? 3 7! 7! A ! 4! 10 Пример Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! A !! Пример Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание на день могут быть включены только три из них? 3 8! 8! A ! 5! Пример Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов? 3 5! 5! A !!

3 Сочетания Определение Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n натуральные числа, причем n

4 Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении Для того чтобы записывать и исследовать эти закономерности, введем некоторые основные понятия и определения Определение Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания Определение Результат этого действия или наблюдения будем называть случайным событием Например, появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти Определение Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием (или искомым исходом) Определение Все рассматриваемые события будем считать равновозможными, те такими, которые имеют равные возможности произойти Так, при бросании кости могут появиться 1-очко, 3, 4, 5 или очков и эти исходы испытания являются равновозможными Иными словами, равновозможность означает равноправность, симметрию отдельных исходов испытаний при соблюдении некоторых условий События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D Определение События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе В противном случае события называются совместными Так, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба; это пример несовместных событий 4

5 Рассмотрим другой пример Пусть на мишени нарисованы круг, ромб и треугольник Произведен один выстрел Событие A попадание в круг, событие B попадание в ромб, событие C попадание в треугольник Тогда события A и B, A и C, C и B являются несовместными Определение Событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное Достоверные события обозначаются буквой U Определение Событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков Невозможное событие обозначается буквой V Определение Полной системой событий A 1, A, A 3, A n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании Так, выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти, шести очков при бросании игральной кости есть полная система событий, поскольку все эти события несовместны и наступление хотя бы одного из них обязательно Определение Если полная система состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются A и A Пример Имеется один билет лотереи «б из 45» Событие A состоит в том, что он выигрышный, а событие B в том, что он невыигрышный Являются ли эти события несовместными? Пример В коробке находится 30 пронумерованных шаров Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными: достали пронумерованный шар (; достали шар с четным номером (достали шар с нечетным номером (C); достали шар без номера (D) Какие из них образуют полную группу? Пример Являются ли достоверными или невозможными события, состоящие в том, что при однократном бросании кости выпадет: 5 очков; 7 очков; от 1 до очков? Какие события в этом испытании составляют полную группу? 5

6 Определение Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания Сумма событий A и B, обозначается (A+ и означает, что наступило событие A, или B, или A и B вместе Определение Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания Произведение событий A и B обозначают: AB 3 Определение вероятности события Случайные события реализуются с различной возможностью Одни происходят чаще, другие реже Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события Определение Вероятность события A это отношение числа M благоприятствующих исходов к общему числу N равновозможных исходов, образующих полную группу: Вероятность достоверного события равна 1, невозможного 0, случайного: 0 (1 Это классическое определение вероятности Относительная частота события A отношение числа m испытаний, в которых событие появилось к общему числу n испытаний: M N * (Пример Из слова «поликлиника» выбирается наугад одна буква Какова вероятность, что это гласная? Что это буква К? Что это гласная или буква К? Всего букв 11 Событие A в результате эксперимента появилась гласная буква Событие B появилась буква К Событию A благоприятствуют пять событий (5 гласных), событию B два m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Основные теоремы и формулы теории вероятности Теорема сложения вероятностей Вероятность появления одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей:

7 A A A A A 1 n 1 A n Вероятность суммы двух совместных событий A A Сумма вероятностей противоположных событий (1 Определение Пусть A и B два случайных события одного и того же испытания Условной вероятностью события A или вероятностью события A A при условии, что наступило событие B, называется число Обозначение: A B A Теорема умножения вероятностей Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий A 7

Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1, ; кроме того,

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? Цифр, меньших 5, всего пять: { 0; 1; 2; 3; 4 } Остальные пять цифр не меньше 5: { ; ; ; ; } 1-й способ решения

Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Теория вероятностей и статистика класс Используемые учебные пособия: Учебник: Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика. М., МЦНМО: ОАО

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Теория вероятностей План лекции П О теории вероятностей как науке П Основные определения теории вероятностей П Частота случайного события Определение вероятности П 4 Применение комбинаторики к подсчету

Элементы теории вероятности Случайные события Детерминированные процессы В науке и технике рассматриваются процессы, исход которых с уверенностью можно предсказать: Если к концам проводника приложить разность

ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ Текст исправлен и дополнен АННОТАЦИЯ Книга является учебным пособием в котором кратко просто и доступно

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный социально-экономический университет»

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. Случайные события Задача. В партии из N изделий изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад изделий k изделий

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U n. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве U n. Примеры перестановок: 1)распределение

ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 Аксиомы теории вероятностей Различные события можно классифицировать следующим образом:) Невозможное событие событие, которое не может произойти) Достоверное событие

ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://inter.vags.ru/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС (ФГОУ

Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 3.1. Случайные события. Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие;

Высшее профессиональное образование Бакалавриат В. С. Мхитарян, В. Ф. Шишов, А. Ю. Козлов Теория вероятностей и математическая статистика Учебник Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию

ОГЛАВЛЕНИЕ РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Предисловие.................................................... 6 ЧАСТЬ I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.............................. 7 ГЛАВА 1. Элементы комбинаторного анализа........................

Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов Интернет-ресурс с методическими материалами http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал

Чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Федеральное Агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Н. Э. Лугина ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Томск 2006 Рецензенты: канд.

Лекция Случайные события Определение. Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Раздел «Вероятность и статистика» Е.М. Удалова. Приморский район, школа 579 Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных

Задача 1. В урне находятся 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлечённых шара окажутся белыми, равна 7 60. Сколько в урне белых шаров? Число способов, которыми можно выбрать k предметов из n равна C k

4 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровская государственная академия экономики и права» Кафедра

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУВПО «Пермский государственный университет» Доц. В.В. Морозенко УДК 59. (075.8) Кафедра высшей математики Теория

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» Л. И. Константинова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Федеральное агентство железнодорожного транспорта филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет

Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. () a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

ТОМСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ СГУПС СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Элементы комбинаторики. Основы теории вероятностей» дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Практикум по дисциплине

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

ЗАДАНИЯ: 1. Записать с помощью фигурных скобок множество натуральных чисел, расположенных на луче между числами 10 и 15. Какие из чисел 0; 10; 11; 12; 15; 50 принадлежат этому множеству? 2. Записать множество

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Л.И. КОНСТАНТИНОВА

Лекция 5 Тема Схема Бернулли. Содержание темы Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли. Биномиальная случайная величина. Основные категории бином Ньютона, схема

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение : Р 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая

цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р 3 =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только

один раз?

Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из

трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти

элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ:504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение : А 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из

10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:
способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:
способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С 7 2) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С 9 3)) и с каждым вариантом выбора третьей (С 8 1) по правилу

умножения получаем:

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4321=120 способов

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

¾ основные понятия комбинаторики;

¾ классическое определение вероятности;

¾ определение случайной величины;

¾ математические характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию;

уметь:

¾ решать задачи на нахождение вероятности события;

¾ решать задачи на нахождение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, …, 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (345 и 534), другие – входящими в них цифрами (1036, 5671), третьи различаются и числом цифр (345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: размещения, перестановки и сочетания. Однако предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n – факториалом.

1. Размещения . Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Пример . Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два:

Задание. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Ответ: 336.

2. Перестановки . Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Пример. Пусть даны три буквы А, В, С. Сколько можно составить комбинаций из этих букв?

Решение. Число перестановок из трех элементов можно вычислить по формуле: 3! = = 6.

Задание. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 5040.

3. Сочетания . Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример .Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Решение. Так как из 30 учащихся нужно выбрать 3, то можно составить комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. сочетания из 30 по 3:

Ответ: 4060.

Задание. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: 3003.

Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные задачи комбинаторики.

2. Что называется перестановками?

3. Запишите формулу для перестановок из n элементов.

4. Что называется размещениями?

5. Запишите формулу числа размещений из n элементов по m.

6. Что называется сочетаниями?

7. Запишите формулу для числа сочетаний из n элементов по m.

Контрольное задание

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Комбинаторика
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

Решить уравнения
а) 13 EMBED Equation.3 1415. б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей
В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

Х
1
2
3
4

р
0,3
0,1
0,2
0,4

На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.
Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Х
0
1
2
3
4

р
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. ОТВЕТЫ

Комбинаторика
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415. 4. а) 13 EMBED Equation.3 1415, 5; б) 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415. 6.13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415. 9.13 EMBED Equation.3 1415. 10.13 EMBED Equation.3 1415. 11. 13 EMBED Equation.3 1415. 12. 13 EMBED Equation.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Теория вероятностей
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2.13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 14155. 13 EMBED Equation.3 14156.13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415 5.13 EMBED Equation.3 1415 6.13 EMBED Equation.3 1415.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Комбинаторика

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

4. Решить уравнения

5. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

6. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

7. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

8. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

9. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

10. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

11. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

12. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

13. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

14. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

4. Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:

5. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.